Фейнман однажды сказал, что квантовая механика «в глубине души» не так уж сложна. Причина, по которой студенты так долго изучают квантовую механику в университете, заключается в том, что им нужно научиться выполнять соответствующие вычисления, и при этом быстро!
То же самое справедливо и для интегралов. На самом деле, можно полностью пропустить алгебру, функции, последовательности, действительные числа и сходимость. По сути, интегральное исчисление — это очень элементарная идея.
Интегральное исчисление — это просто полезный инструмент, позволяющий нам вычислять площади фигур, которые не обязательно являются многоугольниками. Давайте посмотрим на следующую «странную» фигуру.
Как мы можем рассчитать её площадь? Ну, одно мы можем сказать наверняка: она меньше, чем окружающий её красный прямоугольник.
Но мы можем сделать и лучше. Мы знаем, что она по-прежнему меньше, чем красные прямоугольники ниже, взятые вместе, общая площадь которых также меньше, чем предыдущий красный прямоугольник.
С другой стороны, мы знаем, что нужная нам площадь — это, как минимум, прямоугольники, которые могут поместиться внутри фигуры (фиолетово-серые области — это синие прямоугольники, наложенные поверх красных прямоугольников).
И поэтому мы просто продолжаем повторять этот процесс, увеличивая количество прямоугольников, пока они не становятся такими маленькими, что мы уже не можем различить их.
Теперь мы уже не можем отличить прямоугольники от исходной фигуры! Таким образом, мы видим, что, используя этот процесс, мы можем очень точно измерить площадь любой формы.
Описанный выше процесс генерирует два списка чисел, по одному списку для каждого цвета, в соответствии с общей площадью красных и синих прямоугольников на любом этапе процесса. Некоторые списки чисел имеют так называемый предел, и мы можем точно рассчитать этот предел.
Например, предположим, что я съедаю целый торт, каждую минуту разрезая то, что осталось от торта, на две половинки и съедая одну из них. Если вы бросите мне вызов съесть весь торт целиком, то у меня это никогда не получится, потому что всегда будет оставаться ещё немного торта. Однако, если вы бросите мне вызов съесть любое количество торта, которое меньше, чем весь торт, то в конечном итоге я добьюсь успеха. В этом случае мы говорим, что предел количества съеденного мной торта — это целый торт, хотя на самом деле я никогда не съем весь торт целиком.
Точно так же иногда мы можем вычислить пределы сумм площадей красных и синих прямоугольников, когда они приближаются к форме, определённой обрамляющей кривой. Когда мы можем это сделать (и когда два этих предела равны), мы говорим, что эта фигура имеет площадь, равную этому пределу (вместо простого приближения, как раньше).
Если два предела не равны (и такое иногда бывает), мы говорим, что форма не интегрируема по Риману, и поэтому у неё нет площади, вычисляемой описанным здесь методом (интегральное исчисление по Риману).
По материалам публикации (англ.).
Из комментариев
Можно добавить, что интегральное исчисление — это не только вычисление площадей, но и вычисление любой величины путём разбития её на всё меньшие и меньшие части. Таким образом, вычисление длины кривой как ряда крошечных прямых отрезков является интегральным исчислением. Вычисление направления магнитного поля путем сложения множества крошечных векторов также является интегральным исчислением. И так далее.
***
Почему многие преподаватели так часто не могут учить таким вещам такими способами? Я понимаю, что есть язык, на котором нужно обязательно начинать говорить по мере углубления в тему, но разговор описанным образом может действительно открыть глаза многим людям.
Это то, что меня расстраивает. Я полагаю, что никто не становится учителем или лектором без некоторого увлечения предметом. Поэтому иногда учителя забывают, что другие могут не разделять ту же страсть, что и они...
Вероятно, учитель будет учить всему так, как он сам понял или усвоил это в детстве. И наоборот, трудно также определить, что именно понимает ребёнок — его словарный запас недостаточно богат, чтобы точно выразить, чего он не понял в предложенных ему объяснениях...
