Деление - действие, обратное умножению.
А : В = С, при С * В = А (А, В, С - натуральные числа)
А - делимое;
В - делитель;
С - частное.
Варианты обозначение деления:
Свойства деления:
1ое Свойство. Посмотрим на ситуацию, когда нам нужно одно число поделить само на себя, что мы получим? Мы получим 1 - в этом и заключается 1ое свойство деления.
А : А = 1
Например: 5 : 5 = 1; 129 : 129 = 1
2ое Свойство. Теперь попробуем поделить число на 1 - получим то же самое число:
А : 1 = А
Например: 23 : 1 = 1; 3 : 1 = 3
3е свойство. Третьим свойством в делении накладывается запрет на переместительное свойство, которое есть в умножении. Переместительно свойство, как в умножении, при делении НЕ работает!
А : В = А : В, никогда НЕ РАВНО В : А
Например: 12 : 3 = 4, 3 : 12 НЕ равно 4
4е Свойство. Делим сумму на число. Что бы поделить сумму двух чисел на третье число нужно поделить каждое число из суммы и сложить частные от этих операций:
(А + В) : С = А : С + В : С
Например: (6 + 8) : 2 = 6 : 2 + 8 : 2 = 3 + 4 = 7
5е Свойство. Делим разность двух чисел на третье аналогичным способом, что описан в 4м свойстве:
(А - В) : С = А : С - В : С
Например: (9 - 6) : 3 = 9 : 3 - 6 : 3 = 3 - 2 = 1
6е Свойство. 6е свойство рассказывает о делении произведения двух чисел. Такое действие можно записать еще 2мя способами: 1ый способ говорит: это тоже самое, что если мы первый множитель поделим на делитель, а затем полученное частное умножим на второй множитель; 2ой способ: сначала второй множитель поделим на делитель и полученное частное умножим на первый сомножитель:
(А * В) : С = (А : С) * В = (В : С) * А
Например: (12 * 8) : 4 = (12 : 4) * 8 = (8 : 4) * 12 = 24
дополнение:
(А * В) : А = В; (А * В) : В = А, случаи, когда делитель С равен одному из сомножителей.
Например: (91 * 7) : 91 = 7; (175 * 932) : 932 = 175
Свойство обратное шестому осуществляет деление числа на произведение двух других чисел - делимое делим в любом порядке на каждое число из произведения:
С : (А * В) = С : А : В = С : В : А
Например: 24 : (3 * 4) = 24 : 3 : 4 = 24 : 4 : 3 = 12
7е Свойство. Частное делим на число - это значит что мы делимое из частного делим на произведение двух делителей:
(А : В) : С = А : (В * С)
А : (В : С) = (А : В) * С - обратное свойство
И обратное свойство говорит нам как поделить число на деление двух чисел - число которое мы хотим поделить делим на делимое из скобок, а после полученное частное умножаем на делитель из скобок.
Например: (27 : 3) : 9 = 27 : (3 * 9) = 1; 27 : (9 : 3) = (27 : 9) * 3 = 9
Деление с остатком.
А - делимое;
В - делитель;
С - частное;
R - остаток.
При выполнении деления с остатком наша задача заключается в том, что бы при заданных делимом и делителе подобрать такие частное и остаток, что бы равенство было верным.
Простые числа.
Простые числа - это такие числа, которые делятся только на 1 и сами на себя. При разложении на множители мы получим произведение единицы на само число.
Например: число 3 - делится только на 1 и на 3; числа - 11, 71, 41, 19 и т.д.
Составные числа.
Составные числа - это такие числа, которые при разложении на простые множители имеют не менее 2х множителей. Такие числа делятся не только на 1 и сами на себя, но и на другие простые числа.
Например: 14 = 2 * 7; 56 = 2 * 2 * 2 * 7 - составные числа.
Признаки делимости.
Для чего нежно знать признаки делимости чисел? Зная признаки делимости мы упрощаем себе жизнь - только взглянув на число мы уже сразу можем сказать а на какое число делится заданное нам число. Рассмотрим известные признаки подробнее.
Делимость на 2.
На 2 делятся такие числа, которые заканчиваются (самое правая цифра) на чётную цифру, либо на 0. То есть, если число заканчивается на чётную цифру или 0, то это число совершенно точно делится как минимум на число 2.
Например: 2; 8; 32, 60, 174; 9386 и т.д.
Делимость на 3.
А вот на 3 числа делятся тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3 - тогда и само число можно разделить на 3.
Например: 768 - 7 + 6 + 8 = 21, 21 : 3 = 7 --> 678 делится на 3
Делимость на 4.
Если мы говорим про двузначное число, то мы говорим о следующем признаке - удвоенное число в разряде десятков складываем с числом стоящем в единицах, и если полученное значение делится на 4, то исходное число тоже можно разделить на 4.
Например: число 64: 6 * 2 + 4 = 16, 16 : 4 = 4 --> 64 - делится на 4
Если же мы говорим про число в котором больше 2х разрядов, то здесь мы применяем следующее правило: число образованное из двух последних цифр заданного числа должно делиться на 4 (если это не заметно невооружённым глазом, то пользуемся правилом описанным выше - признак делимости двузначного числа на 4), тогда и исходное число можно разделить на 4.
Например: число 344: 44 : 4 = 11 --> 344 - делится на 4
Дополнение:
Так же число делится без остатка на цифру четыре если:
- в последнем разряде находятся цифры - 0; 4; 8;
- в последнем разряде - 2; 6 + предпоследний разряд - нечетная цифра.
Делимость на 5.
Число делится на 5 только в тех случаях, если число заканчивается на 0 либо на 5. Ни в каких других случаях число поделить на 5 без остатка невозможно.
Например: числа: 25; 100; 70; 672095 и т.д.
Делимость на 6.
Признак деления числа на 6 без остатка одновременно сочетает в себе два признака деления - это признаки деления на 2 и на 3. Другими словами на 6 можно разделить только такое число, которое одновременно кратно и 2, и 3.
Например: число 486: 6 - четное число, 4 + 8 + 6 = 18, 18 : 3 = 6 --> 486 - делится на 6.
Делимость на 7.
Признак делимости на 7 очень похож на один из признаков делимости на 4. Мы берем цифру стоящую в разряде десятков, утраиваем её, а затем прибавляем цифру стоящую в разряде единиц.
Например: число 105: 10 * 3 + 5 = 35, 35 : 7 = 5 --> 105 - делится на 7
Делимость на 8
Признак делимости на 8 так же напоминает один из признаков деления на 4. Применить его можно только к трёхзначным числам: Берём цифру из разряда сотен - умножаем на 4, затем цифру из разряда десятком умножаем на 2 и последним действием складываем два произведения с цифрой стоящей в разряде единиц:
Например: число 336: 3 * 4 + 3 * 2 + 6 = 12 + 6 + 6 = 24, 24 : 8 = 3 --> 336 - делится на 8
Но не только к трехзначным числам можно применить признак делимости. Для чисел с количеством разрядов больше 3х правило следующее: если число образованное последними тремя цифрами кратно 8, то и всё число делится на 8:
Например: число 952336: 336 : 8 - разобрали выше --> 952336 - делится на 8
Делимость на 9.
А вот на 9 число можно разделить только в том случае, если сумма его цифр сама делится на 9. Очень похоже на признак делимости числа на 3.
Например: число 927: 9 + 2 + 7 = 18, 18 : 9 = 2 --> 927 - делится на 9
Делимости на 10.
На 10 разделить число без остатка получится только когда число заканчивается на 0 и без вариантов.
Например: 10; 230; 700; 65420 и т.д.
Делимости на 11.
С числом 11 всё немного сложнее, попробуем разобраться. Правило звучит следующим образом: модуль разности сумм чётных и нечётных разрядов равен 0, либо делится на 11.
Например: число 1364: |(1 + 6) - (3 + 4)| = 0 --> 1364 - делится на 11
Делимость на 25.
Число делится на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50, 75, даже если число двузначное.
Например: 75; 100; 750; 609825 и т.д.
P.S.: Пишу на основании материалов учебников по школьной программе по математике, под редакцией Мордковича А.Г. и справочных материалов по математике за школьную программу. Если встретили в материалах недочеты, пишите, всегда рада конструктивной критики специалистов.
