Обсудим радиальные шварцшильдовы геодезические, или как выглядит падение близ горизонта событий черной дыры, и попытка оттуда убраться. В этой заметке — исключительно радиальное движение, без вращения.
Здесь надо помнить о координатной скорости, которую видит отдаленный наблюдатель и которая может быть вообще любой, и физической, в координатах вблизи самого тела. Так, для света физическая скорость всегда с, а вот координатная может быть и меньше, и даже больше.
В случае радиального движения метрика Шварцшильда выглядит так:
Здесь а — радиус Шварцшильда, он же радиус горизонта событий, он же гравитационный радиус. По теореме Биркгофа, это единственное симметричное вакуумное решение, так что нравится, не нравится...
Отсюда получается координатная скорость света dr/dt=c(1-a/r), которая меньше c. Из-за замедления времени (и растяжения расстояний) свет выползает медленно. С самого горизонта он вообще убраться не сможет.
Это с точки зрения отдаленного наблюдателя.
Если проинтегрировать координатную скорость, которая есть dr/dt, получится логарифмическая зависимость для времени t. Я не буду выписывать громоздкую формулу, но само уравнение преобразуется в dr/(1-a/r)=cdt и интегрируется слева и справа. В результате, если r стремится к а, то t стремится к бесконечности. Иными словами, даже свет никогда не долетит до горизонта событий с точки зрения отдаленного наблюдателя. И не вылетит, тем более.
Для частиц с массой так просто уже не получится: надо решить уравнение геодезической. Решение получается довольно громоздкое, но в пределе (далеко от горизонта событий, энергия E невелика сравнительно с энергией покоя E-mc²) получается Ньютоново сохранение энергии: кинетическая плюс потенциальная дает E-mc².
Вблизи горизонта координатная скорость стремится к нулю: отдаленный наблюдатель видит, как падающая частица замирает на горизонте. И вылетающая тоже, то есть по сути она не "вылетающая".
Физическая же скорость, измеряемая неподвижным в данной системе отсчета наблюдателем вблизи падающего тела (то есть, висящего на веревке), стремится к с вблизи горизонта событий. Поэтому упасть в черную дыру можно только со скоростью света. По той же причине и вылететь с горизонта тоже не получится. Убраться из окрестности горизонта со скоростью, близкой к с, можно, но времени это по часам отдаленного наблюдателя займет очень много. По своим часам тоже много, потому что придется преодолевать гравитацию, которая тормозит часы. Не механизм часов, это тоже возможно, а любые часы.
Если проинтегрировать выражение для координатной скорости тела (это точка зрения далекого наблюдателя), то можно определить время падения тела в черную дыру. Если один из пределов интегрирования равен радиусу Шварцшильда, радиусу горизонта событий, то интеграл расходится: время бесконечно. Что и ожидаемо, так как скорость стремится к нулю. Но всяко же может быть: само по себе убывание скорости не означает, что путь конечен! Хотя если свет падает бесконечно долго, то и массивное тело тем более. Более того, никакими силами нельзя изменить этот результат: скорость все равно меньше скорости света, так что тело "зажато" между светом и телом, на которое силы не действуют.
А вот собственное время падения, по часам на падающем теле, конечно. Потому что нет ни гравитационного замедления, ни кинематического при большой скорости.
Подробнее смотри по ссылке выше: это книжка Новикова и Фролова "Физика черных дыр" 1984 г.
Подведем итоги, прежде чем рассмотреть еще одну точку зрения:
- Если смотреть издалека, то скорость на горизонте стремится к нулю и время долетания до горизонта бесконечно. Время улетания от горизонта (но не с него самого) сколь угодно велико, в зависимости от того, насколько близко к нему начинали.
- Если висеть на веревке близ горизонта, то скорость падения тел на горизонт равна с. Энергия их бесконечна, но эта энергия гравитации не создает, что мы уже обсуждали. Время падения конечно. Убраться оттуда, из окрестности горизонта, можно лишь со скоростью, близкой к с.
- Если свободно падать в черную дыру, то время достижения и горизонта, и сингулярности в центре, конечно.
Мак-Витти в книге "ОТО и Космология" 1961 г. пишет более романтично))
Он вводит нетензорную скорость частицы q и скорость на бесконечности V, и, предполагая малость радиуса Шварцшильда и V/c, сводит уравнение к уравнению Ньютона.
Затем он получает ограничение |V|≤c: как не крути, а скорость на бесконечности больше скорости света быть не может. Более того, он получает максимальную скорость, которую наберет частица, если скорость на бесконечности была V. Квадрат этой скорости равен 0.25/(1-V²), где V выражена в долях c. Достигается эта скорость на расстоянии
2a(1-V²)/(1-2V²). Поскольку это расстояние положительно, то максимальная скорость лежит в пределах от c/2 до с/√2. Если начальная скорость V больше, то частица всё время "тормозится". Если нет, то тормозится только после достижения максимальной скорости.
Это, конечно, романтично, но надо понимать, что измеряемая отдаленным наблюдателем координатная скорость сильно зависит от замедления времени, поэтому она и вправду может расти и потом убывать или сразу убывать, только это не "торможение" со стороны черной дыры.
Немного позже рассмотрим орбиты, то есть нерадиальные геодезические.
