Знаете парадокс древнегреческого тролля Зенона? Что Ахилл не догонит черепаху, которой дал фору; потому что пока он добежит до точки старта черепахи, та пробежит немного; а пока покроет то расстояние, она еще отдалится, и так до бесконечности.
Здесь важна бесконечная делимость времени и пространства. Потому что если хоть что-то дискретно, имеет предел делимости — парадокса нет.
Скажем, если и то, и другое дискретно, то в какой-то момент либо Ахилл за один квант времени окажется впереди, либо скакнет в тот же квант пространства, а черепаха убраться не успеет.
Естественно, и Ахилл, и черепаха — точки, иначе само понятие "догнать" нуждается в уточнении.
На самом деле, вопрос проще, чем о нем говорят — но не лишен интереса.
Ведь бесконечная делимость означает, что можно ввести скорость: Ахилл за произвольное время t>0 пробегает ut единиц расстояния, а черепаха vt, v<u. Если он догонит черепаху за время T, то это означает следующее: он пробежит столько же, сколько она за то же время, и еще фору L единиц. То есть
uT=vT+L.
Отсюда T=L/(u-v). Ахилл пробежит Lu/(u-v) единиц, а черепаха Lv/(u-v) единиц.
А теперь скажите мне, что из этого не мог проделать Зенон?
Но вопрос он поставил хороший. Прежде чем идти дальше, подумайте: когда Ахилл пробежит это расстояние, где будет черепаха? Да там же, где и он! Она как раз пробежит столько, чтобы оказаться в его объятиях. Например, если скорость Ахилла в 11 раз выше, а фора 10 стадий, то Ахилл догонит ее, пробежав 11 стадий: черепаха к тому времени пройдет одну, добавив ее к 10 форовым, ну вот они и встретятся. Никаких проблем здесь не наблюдается.
Идем дальше. Зенон качественно озадачил современников и потомков, потому что один путь приводит к простому и ясному решению, а другой ведет, вроде как, в тупик: когда Ахилл добежит до точки старта черепахи, ее там уже не будет; но когда он добежит дотуда, где она будет, ее не будет уже и там. И так далее.
Но у нас есть анализ бесконечно малых, и нам теперь эта задача по зубам!
Дело в концепции предела. Если есть последовательно генерируемые числа, которые приближаются к некоторому, то мы говорим, что последовательность сходится к этому пределу. Еще говорят стремится. Она может его никогда не достигнуть, но все ближе. Например, формула 1/n генерирует положительные числа, которые стремятся к нулю. Нуля не будет, но будет очень близко. Сколь угодно близко.
Зенон и объясняет нам, что предел иногда реален.
Вот еще пример: возьмем дробь 1/3, запишем ее в десятичном виде: 0.333 и 3 в периоде. Умножим на три: получим 1... или 0.999 и 9 в периоде. Так что 1 есть предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999 и т.д. Живите с этим.
Вот еще одна задача того же поля. Два поезда едут навстречу друг другу с данными скоростями, между ними летает муха (скорость ее выше, чем у поездов), туда-сюда. Какое расстояние налетает муха, пока поезда, встретившись, ее не придавят?
Можно записать бесконечную сумму (ряд) и посмотреть, к чему он сходится. А можно посчитать время до встречи поездов и умножить на скорость мухи.
В рассмотренных случаях суммирование ряда (бесконечной суммы) через предел было инструментом, причем не самым удобным: есть способы лучше.
Но вот длина и площадь окружности/круга уже иное дело. Окружность вполне реальна, а число пи (π) встречается буквально везде. Но даже определить длину и площадь без предела сложно, а уж посчитать тем более. Число π еще интереснее: оно изначально имеет "предельную" природу. Его можно вычислять с любой точностью, можно даже получать цифры по номеру (не вычисляя предыдущих), можно записать в виде ряда... но нельзя "взять в руки" целиком.
Задача о сложных процентах уводит нас еще выше. Если положить мешочек денег под 100% годовых, то через год снимем два мешочка. Однако если снять мешочек вклада плюс полмешочка процентов через полгода и сразу положить все еще на полгода, то получим 1.5 мешочка вклада плюс половина от того процентов, в целом 9/4>2. И ясно, что можно делить пополам каждый интервал, увеличивая доход. Но не до бесконечности, есть предел, и предел этот равен е. Число е тоже в руки не взять, оно имеет предельный характер. Как говорим мы, математики — числа е и π иррациональны и трансцендентны.
Это как в квантовой механике: принципиально невозможно сказать точно, где частица. Принципиально невозможно сказать точно, какова площадь круга радиуса 1 метр.
Получается, что сама природа имеет предельный характер. Если в формуле есть пи или е, вы изначально обречены вычислять приближенно. Не говоря уже про вероятности, плотности, скорости, интегралы и производные, дивергенции и кривизны — это все пределы.
Иррациональные числа возникают в самых невинных ситуациях. Диагональ квадрата со стороной а равна а√2, и это иррациональное число (при целом a), что знали и тщательно скрывали пифагорейцы. Вы никак не сможете записать длину диагонали дробью, даже бесконечной периодической.
Зато можно вычислить с любой точностью! Скажем, если взять куб, построить в нем диагональ и сделать ее стороной квадрата, то его диагональ будет равна √6. А сколько это в метрах (если ребро куба было метр)?
Ну, примерно 2. Грубо, да. Напишем √6=2+x, откуда 6=4+4x+x²≈4+4x, то есть x≈0.5.
Получили приближение получше: √6≈2.5, или √6=2.5+x, и можно повторить.
И можно повторять и повторять, получая всё более точное приближение. Предел есть, но до него не добраться. Но он есть!
Последний пример: теорема о сжимающих отображениях. О ней чуть позже будет заметка. Сжимающее отображение переставляет точки в множестве как угодно, только с условием: расстояние между любыми двумя точками должно уменьшиться. Тогда есть ровно одна точка, которая останется неподвижной: перейдет сама в себя.
Доказательство очень просто: берем любую точку и смотрим, куда она перейдет. И снова, снова и снова. Расстояние будет все меньше, а значит — будет предел. Он и есть неподвижная точка. Почему нет второй — тоже ясно.
Теперь берем круг и поворачиваем на любой угол, уменьшив радиус вдвое. Какая точка неподвижна? Центр! В данном случае предел можно пальцем показать. Но так бывает не всегда, впрочем, какая разница? Главное, что предел есть и его иногда можно даже указать; а если и нельзя, то можно приближенно указать, чего, как правило, достаточно.
Какие выводы?
Анализ бесконечно малых может быть инструментом: иногда удобным, иногда не самым подходящим; но чаще — необходимым. Но на самом деле предел объективно существует, только когда-то он записывается иными средствами, а когда-то нет.