В прошлой статье мы узнали о том, что такое логарифмические таблицы и как можно быстро умножать с использованием логарифмов.
Сегодня мы рассмотрим другой механический инструмент - логарифмическую линейку.
Чтобы понять, чем она отличается от обычной, давайте сначала посмотрим на те линейки, которыми мы пользуемся в школах.
В ней длина интервала прямо пропорциональна разности значений на его концах. Возьмем например промежуток между 1 и 2. Длина этого промежутка - 1 см, а разница значений на концах - 1.
С помощью такой линейки можно например складывать и вычитать числа. Для этого понадобится две линейки. Допустим мы хотим сложить 55 и 19 (да, это можно сделать в уме, но нам важен сам принцип вычислений с помощью линеек).
На одной линейке откладываем 55 мм, то есть 5.5 см. На второй - 19 мм или 1.9 см. 5.5 см на первой линейке совмещаем с нулем на второй
Затем проводим линию от значения 1.9 см на второй линейке вверх.
Смотрим куда эта линия попала. В моем случае в точку 7.4. Проверим, и действительно, 5.5+1.9=7.4. Вспомним, что мы складывали миллиметры, поэтому результат умножим на 10.
Вот так с помощью двух обычных линеек можно быстро складывать числа. Правда с использованием 25-сантиметровых линеек можно складывать только те числа, сумма которых меньше 250.
Вычитание происходит аналогично, только на втором этапе (когда мы прикладываем две линейки друг к другу) нужно сопоставлять значение на первой линейке и на второй, а не значение на первой и ноль на второй. То есть если мы хотим из 55 вычесть 19, то нужно 5.5 на первой линейке сопоставить с 1.9 на второй, а не с нулем как в случае со сложением. На результат будет указывать отметка 0 на второй линейке.
С помощью обычных линеек можно только складывать и вычитать, а ученым из 17 века нужно было умножать числа.
На этой линейке, в отличии от обычной расстояния между цифрами уменьшаются. Дело в том, что длина интервала на логарифмической линейке равна отношению чисел на его концах (а не разности, как на обычной линейке).
Поэтому промежуток от 1 до 2 имеет длину 2 (единицы измерения не не важны, но для удобства пусть длина 2 будет равняться 4 сантиметрам). Промежуток от 2 до 3 имеет длину 3/2, то есть 1.5 (3 см). Промежуток от 3 до 4 имеет длину 1.33 (2,67 см). То есть расстояния на логарифмической линейке уменьшаются.
Зачем это нужно? Чтобы это понять, давайте посмотрим на график десятичного логарифма:
Вообще логарифм не может быть равен 0 (в какую бы степень мы не возводили бы 10, ноль никогда не получится). Поэтому на логарифмической линейке отсчет начинается с 1. Мы можем выбрать любой масштаб на обычной линейке (например вместо сантиметров отсчитывать все в миллиметрах, то есть все значения умножать на 10). Такой же фокус провернем с логарифмической - все значения умножим на 10 (сверху вместо цифр 1, 2, 3 будет 10, 20, 30). От этого ничего не поменяется.
Теперь смотрим на график. В точке 10 значение логарифма 1, в точке 20 - 1.3, в точке 30 - 1.48, в точке 40 - 1.6. Как видите, я прибавляю к x 10 каждый раз, но к логарифму x прибавляется сначала 0.3, потом 0.18, потом 0.12. То же самое и на линейке. Числа сверху - это иксы, а длина отрезка - это логарифм числа. в масштабе (с помощью такой линейки не стоит вычислять логарифм, она нам нужна именно для умножения). log(1)=0, поэтому в точке 1 логарифм 0.
Выше я говорил, что масштаб можно брать любой. Но ведь если мы возьмем первое число не 1, а 10, то логарифм в точке 1 будет не 0, а 10. Как тогда посчитать логарифм в точке 3 например? На самом деле также, только к результату нужно будет добавить 1 (или 2, если вы взяли масштаб 1:100, или 3 если масштаб 1:1000 и.т.д.).
Теперь, как нам умножать с помощью таких линеек. Да, нам понадобится 2 линейки. Допустим мы хотим умножить 3 на 2. Делаем все то же, что и с обычной линейкой. На первой линейке отсчитываем 3 черточек, а на второй 2.
Вспоминаем свойство логарифма из прошлой части - логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Из картинки ясно, как получается ответ - 6.
С помощью более сложных логарифмических линеек можно умножать большИе числа, но принцип остается тем же. Деление кстати производится также, как вычитание на обычной линейке.
По сути на логарифмических линейках мы и занимаемся вычитанием и сложением, только не самих чисел, а их логарифмов. А разность или сумма логарифмов - это и есть частное или произведение чисел.