У многих учеников возникают проблемы с этой темой, в основном, из-за непонимания общего смысла тригонометрии. В этой статье я постараюсь помочь вам разобраться зачем нужна тригонометрия и расскажу про лайфхак, чтобы не учить значения синуса и косинуса.
К моменту начала изучения тригонометрии Вы, скорее всего, уже знаете: определение прямоугольного треугольника и окружности — этого вполне достаточно для понимания темы.
*прошу заметить, что некоторые формулировки могут не соответствовать действительности - это сделано для того, чтобы вы лучше запомнили основы. Точные понятия и определения расскажет ваш учитель математики.
Что такое синус и косинус?
Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То-есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.
Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.
Синус - это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).
Косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.
Думаю не ошибусь, если скажу, что теорема Пифагора - самая полезная теорема в геометрии. Давайте применим её для данного треугольника:
Пояснение: делим обе части уравнения на квадрат гипотенузы и делаем замену.
Тригонометрическая окружность
Большие числа тяжело было показывать на координатной прямой, поэтому математики придумали также поделить окружность на равные части:
При переходе через равное расстояние одни и те же точки могут менять свою координату. Например, точка 0 (начало отсчёта) может являться 16, точка 1 может принимать значение 17 и так далее.
Идея с бесконечной прямой хороша, но как переводить эти величины в известную нам координатную плоскость?
На помощь приходит определение круга:
Проведём два перпендикулярных диаметра круга (это будет условная координатная плоскость), а радиус будет равен 1.
Центр круга будет точкой отсчёта (0) для новых осей.
Далее всё предельно просто:
- Выберем любую точку на окружности
- Опустим из этой точки перпендикуляр вниз и соединим её с центром окружности
Где-то мы это уже видели.
Но почему катеты прямоугольного треугольника подписаны как синус и косинус?
Обратимся к определению синуса и косинуса - это отношения к гипотенузе. В данном случае наша гипотенуза всегда будет равна 1, а значит, что синусом и косинусом угла будет являться сама сторона треугольника.
Измерения окружности
Буквой «П» принято отмечать Полуокружности.
Если из точки П пройти ещё одну Полуокружность, Вы снова попадете в точку 0, но уже с другим значением - 2П (2 полуокружности).
Мы можем разбить всю окружность на несколько частей:
Эти значение НЕ НУЖНО учить. Просто нужно понять, что мы делим Полуокружности на определенное количество частей.
Как найти синус и косинус?
Для синуса и косинуса достаточно запомнить всего 5 значений:
