Тригонометрия для чайников

У многих учеников возникают проблемы с этой темой, в основном, из-за непонимания общего смысла тригонометрии. В этой статье я постараюсь помочь вам разобраться зачем нужна тригонометрия и расскажу про лайфхак, чтобы не учить значения синуса и косинуса.

К моменту начала изучения тригонометрии Вы, скорее всего, уже знаете: определение прямоугольного треугольника и окружности — этого вполне достаточно для понимания темы.

*прошу заметить, что некоторые формулировки могут не соответствовать действительности - это сделано для того, чтобы вы лучше запомнили основы. Точные понятия и определения расскажет ваш учитель математики.

Что такое синус и косинус?

Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То-есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.

Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой).

Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.

Синус и косинус прямоугольного треугольника.

Синус - это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).

Косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

Думаю не ошибусь, если скажу, что теорема Пифагора - самая полезная теорема в геометрии. Давайте применим её для данного треугольника:

Основное тригонометрическое тождество

Пояснение: делим обе части уравнения на квадрат гипотенузы и делаем замену.

Тригонометрическая окружность

Большие числа тяжело было показывать на координатной прямой, поэтому математики придумали также поделить окружность на равные части:

При переходе через равное расстояние одни и те же точки могут менять свою координату. Например, точка 0 (начало отсчёта) может являться 16, точка 1 может принимать значение 17 и так далее.

Идея с бесконечной прямой хороша, но как переводить эти величины в известную нам координатную плоскость?

На помощь приходит определение круга:

Проведём два перпендикулярных диаметра круга (это будет условная координатная плоскость), а радиус будет равен 1.

Центр круга будет точкой отсчёта (0) для новых осей.

Координатная плоскость внутри круга

Далее всё предельно просто:

1. Выберем любую точку на окружности
2. Опустим из этой точки перпендикуляр вниз и соединим её с центром окружности

Синус и косинус на единичной окружности

Где-то мы это уже видели.
Но почему катеты прямоугольного треугольника подписаны как синус и косинус?

Обратимся к определению синуса и косинуса - это отношения к гипотенузе. В данном случае наша гипотенуза всегда будет равна 1, а значит, что синусом и косинусом угла будет являться сама сторона треугольника.

Измерения окружности

Буквой «П» принято отмечать Полуокружности.

Полуокружность.

Если из точки П пройти ещё одну Полуокружность, Вы снова попадете в точку 0, но уже с другим значением - 2П (2 полуокружности).

Мы можем разбить всю окружность на несколько частей:

Если разделить полуокружность на четверти.

Общий вид тригонометрической окружности.

Эти значение НЕ НУЖНО учить. Просто нужно понять, что мы делим Полуокружности на определенное количество частей.

Как найти синус и косинус?

Для синуса и косинуса достаточно запомнить всего 5 значений:

Где t - точка на окружности

Всё на одной схеме:

Горизонтальная ось - косинус, вертикальная ось - синус.

Не судите строго, это моя первая статья на Дзене;)
Буду рад Вашей обратной связи!