Продолжаю рассказывать про замечательные геометрические фигуры (топологические конструкции скоро будут тоже!).
До 17 века астрономы были уверены и непоколебимы в позиции насчет формы орбиты планет: окружность и только окружность, как нечто совершенное и данное богами. Но вот на сцену вышел Иоганн Кеплер со своим Первым законом движения планет и заявил (еретик!), что они должны двигаться по эллиптическим траекториям.
Впрочем, были и другие позиции. Одной из них придерживался итальянский астроном Джовани Кассини. Свою версию мироздания он решил описать с помощью фигуры, которая будет названа в его честь. Поехали!
Поиграем с эллипсом
Чтобы понять, что такое овал Кассини, необходимо вспомнить, что такое эллипс. Итак, "эллипс - это плоская фигура, у которой для каждой точки сумма расстояний от двух фиксированных точек (полюсов) постоянна".
Как и многие замечательные научные открытия, всё началось с "а что, если...?". Действительно, а что если не рассмотреть фигуру, у которой постоянно произведение расстояний до фокусов?
Полученные результаты оказались удивительны! Оказывается, фигура, определенная таким образом (явное уравнение приводить не буду), имеет аж 6 (!!!) состояний:
- две точки, отделенные друг от друга (а = 0, с - не равно 0);
- два отдельных овала (0 < a < c);
- лемниската Бернулли (a=c) (иронично, но сам Бернулли начал изучать эту фигуру через 14 лет после открытия Кассини);
- кривая вогнутой перемычкой (c < a < c√2);
- овал (а > c√2);
- окружность (c = 0, а - не равно 0).
Все этапы этого зверинца удобно наблюдать в анимации:
Как легко можно увидеть, в какой-то момент овалы Кассини практически не отличимы от кеплеровских эллипсов. Так всё-таки, по какой орбите перемещаются планеты?
Но в космос можно не лететь, ведь овалы Кассини может получить каждый из Вас, если возьмет в руки обычный бублик (в математике - тор) и нож. Делая параллельные надрезы на разном расстояний от отверстия можно получить овалы Кассини трех видов:
Овалы Кассини находят своё применение и военной сфере. Например, бистатические РЛС (двухпозиционные) имеют поле обнаружения, определяемое именно таким образом.
Вот такая замечательная кривая была открыта итальянским астрономом. Да что кривая! Именем Кассини называны кратеры на Луне и Марсе, промежутки в кольцах Сатурна, астероид и космический аппарат. Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!