Привет! Разберемся, как решать неравенства такого типа:
(х - 7)^2 < √11(х - 7)
Итак, приступим!
- Шаг №1
Первый шаг - это понять, что от нас хотят. Тут стоит знак меньше, значит, это неравенство, и мы должны обозначить числовой промежуток, к которому может принадлежать “X”.
- Шаг №2
Сперва мы должны упростить выражение, чтобы работать было проще. Итак, приступим!
Перенесем все элементы в одну сторону. Напомню, что при переходе на противоположную сторону элемент должен поменять знак. То есть если справа мы видим √11(х - 7), то перенести влево должны - √11(х - 7). Справа у нас ничего не остаётся, и мы ставим ноль.
Итог шага №2: (х - 7)^2 - √11(х - 7) < 0
- Шаг №3
Замечаем, что у наших слагаемых есть общий множитель. Это скобка
(х - 7). Давайте вынесем её за скобки. От первого множителя останется скобка (х - 7), а от второго (- √11)
Итог шага №3: (х - 7)((х - 7) - √11) < 0
- Шаг №4
Решать это неравенство будем методом интервалов. Для этого нам нужно понять, при каких значениях “X” наше выражение будет равно нулю.
А что представляет из себя это выражение? Последнее действие, которое нужно выполнить в данном случае – умножение, следовательно, перед нами произведение. В каком случае произведение может быть равно нулю? Если одни из множителей это ноль.
Поэтому, чтобы понять, при каких значениях “X” наше выражение будет равно нулю, приравняем к нулю оба наших множителя:
1) х – 7 = 0
2) х - 7 - √11 = 0
Теперь решим полученные уравнения:
1) х = 7
2) х = 7 + √11
Итог шага №4: нули в нашем неравенстве это 7 и 7 + √11
- Шаг №5
Следующий шаг в применении метода интервалов - это расположение чисел, найденных нами в предыдущем пункте, на координатной прямой. Приступаем!
Мы получили три интервала:
1) От минус бесконечности до 7
2) От 7 до 7 + √11
3) От 7 + √11 до плюс бесконечности
Теперь наша задача – узнать, какой из них будет ответом на наш вопрос.
- Шаг №6
На этом этапе нам нужно узнать, какой знак примет наше выражение
(х - 7)((х - 7) - √11), если “X” будет принадлежать какому-либо интервалу. Для этого рассмотрим конкретный пример.
Число 0 расположено на первом интервале. Подставим 0 в наше выражение вместо “X”:
(0 – 7)(0 – 7 - √11) = ( – 7)( – 7 - √11) > 0
Видим, что ответ положительный. Делаем вывод, что при любом “X”, принадлежащем этому интервалу, ответ будет положительным.
А на всех других интервалах по очереди меняем знак: если на соседнем интервале мы поставили "+", то на другом ставим "-".
- Шаг №7
Так какой же интервал будет нашим ответом? Для того, чтобы разобраться, обратимся к неравенству.
Итак, (х - 7)^2 - √11(х - 7) меньше 0, то есть нужно такое значение “X”, при при подстановке которого в выражении получится отрицательный ответ. Такое развитие событий нам может обеспечить второй интервал, так как именно на нём мы поставили знак минус. Он и будет ответом.
Знак у нас строгий: не меньше или равно, а строго меньше, то есть ответ будет звучать так: от 7 до 7 + √11 не включительно. Поэтому записываем интервал с круглыми, а не квадратными скобками: (7; 7 + √11).
Ответ: (7; 7 + √11)
А вот так выглядит решение без лишних пояснений:
Надеюсь, всё было максимально понятно :)
До новых встреч!!