Разберемся, как решать уравнения такого типа: (х - 1)(х^2 + 6х + 9) = 5(х + 3).

Привет! Разберемся, как решать уравнения такого типа:

(х - 1)(х^2 + 6х + 9) = 5(х + 3).

Итак, приступим!

• Шаг №1

Первый шаг - это понять, что от нас хотят. Раз тут стоит знак равно, то это уравнение, а значит, мы должны найти значение(я) “X”.

• Шаг №2

Для удобства перенесём всё в одну сторону от знака равно. Напомню, что если мы переносим какие-либо числа в противоположную от знака равно сторону, то они меняют знак. То есть если справа мы видим 5(х + 3), то перенести влево должны - 5(х + 3). Итак, слева у нас получается
(х - 1)(х^2 + 6х + 9) - 5(х + 3), а справа остаётся ничего, а ничего - это ноль.

Итог шага №2: (х - 1)(х^2 + 6х + 9) - 5(х + 3) = 0

• Шаг №3

Ну перенесли мы всё в одну сторону, и что? Всё равно непонятно, как это решать. А вот был бы здесь общий множитель… Стоп, а с чего мы взяли, что его нет? Давайте его обеспечим!

Обратим внимание на скобку (х^2 + 6х + 9). Можно заметить, что это развёрнутая формула квадрата суммы. Давайте эту формулу вспомним:

Квадрат суммы раскрывается так: квадрат первого числа + удвоенное произведение первого и второго числа + квадрат второго числа

Сейчас перед нами развёрнутый вариант этой формулы: (a^2 + 2ab + b^2). Нам нужно свернуть всё обратно, то есть превратить в (a + b)^2

Итак, в скобке (х^2 + 6х + 9) "х^2" – квадрат первого числа. Значит, чтобы узнать само первое число, нужно извлечь из х^2 корень: √х^2 = х. Второе число узнаём так же: √9 = 3. Оба изначальных числа мы знаем, теперь можно и собрать скобку: (х^2 + 6х + 9) = (х + 3)^2

Теперь заменим (х^2 + 6х + 9) на (х + 3)^2 в нашем уравнении.

Итог шага №3: (х - 1)(х + 3)^2 - 5(х + 3) = 0

• Шаг №4

У нас появился общий множитель. Это скобка (х + 3). Вынесем её за скобки.

Итог шага №4: (х + 3)((х - 1)(х + 3) - 5) = 0

• Шаг №5

Итак, теперь у нас есть 2 множителя (первый: (х + 3), второй:
((х - 1)(х + 3) - 5)), а их произведение равно 0. Что это нам даёт? А то, что хотя бы один из этих множителей должен быть равен 0, ведь ноль всегда получается при умножении на ноль. Поэтому теперь приравняем к 0 каждый из наших множителей:

1) х + 3 = 0

2) (х - 1)(х + 3) - 5 = 0

Мы получили два уравнения. Теперь всё, что от нас требуется – это их решить. Приступаем!

1) х + 3 = 0

х = - 3

2) Тут ситуация посложнее. Нужно раскрыть скобки. Вперёд!

(х - 1)(х + 3) - 5 = 0

х^2 + 3х – х – 3 – 5 = 0

Приведём подобные слагаемые:

х^2 + 2х – 8 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Вспомним формулу дискриминанта:

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Продолжаем:

D = 4 + 4*8 = 4 + 32 = 36 = 6^2

Х1 = (- 2 + 6)/2 = 4/2 = 2

Х2 = (- 2 - 6)/2 = - 8/2 = - 4

Вот мы и получили ответы! А почему корней уравнения именно 3? Потому, что это уравнение третьей степени. Если бы мы изначально раскрыли скобки, то получили бы х^3

Ответ: -3; 2; -4

А вот так выглядит решение без лишних пояснений:

Решение, которое можно переписать в тетрадь)

Попробуйте сами решить подобное уравнение для тренировки:
х(х^2 + 2х +1) = 6(х + 1). Оно решается по той же схеме! Ответы пишите в комментариях)

Надеюсь, всё было максимально понятно :)

До новых встреч!!