Привет! Разберемся, как решать уравнения такого типа:
(х - 1)(х^2 + 6х + 9) = 5(х + 3).
Итак, приступим!
- Шаг №1
Первый шаг - это понять, что от нас хотят. Раз тут стоит знак равно, то это уравнение, а значит, мы должны найти значение(я) “X”.
- Шаг №2
Для удобства перенесём всё в одну сторону от знака равно. Напомню, что если мы переносим какие-либо числа в противоположную от знака равно сторону, то они меняют знак. То есть если справа мы видим 5(х + 3), то перенести влево должны - 5(х + 3). Итак, слева у нас получается
(х - 1)(х^2 + 6х + 9) - 5(х + 3), а справа остаётся ничего, а ничего - это ноль.
Итог шага №2: (х - 1)(х^2 + 6х + 9) - 5(х + 3) = 0
- Шаг №3
Ну перенесли мы всё в одну сторону, и что? Всё равно непонятно, как это решать. А вот был бы здесь общий множитель… Стоп, а с чего мы взяли, что его нет? Давайте его обеспечим!
Обратим внимание на скобку (х^2 + 6х + 9). Можно заметить, что это развёрнутая формула квадрата суммы. Давайте эту формулу вспомним:
Сейчас перед нами развёрнутый вариант этой формулы: (a^2 + 2ab + b^2). Нам нужно свернуть всё обратно, то есть превратить в (a + b)^2
Итак, в скобке (х^2 + 6х + 9) "х^2" – квадрат первого числа. Значит, чтобы узнать само первое число, нужно извлечь из х^2 корень: √х^2 = х. Второе число узнаём так же: √9 = 3. Оба изначальных числа мы знаем, теперь можно и собрать скобку: (х^2 + 6х + 9) = (х + 3)^2
Теперь заменим (х^2 + 6х + 9) на (х + 3)^2 в нашем уравнении.
Итог шага №3: (х - 1)(х + 3)^2 - 5(х + 3) = 0
- Шаг №4
У нас появился общий множитель. Это скобка (х + 3). Вынесем её за скобки.
Итог шага №4: (х + 3)((х - 1)(х + 3) - 5) = 0
- Шаг №5
Итак, теперь у нас есть 2 множителя (первый: (х + 3), второй:
((х - 1)(х + 3) - 5)), а их произведение равно 0. Что это нам даёт? А то, что хотя бы один из этих множителей должен быть равен 0, ведь ноль всегда получается при умножении на ноль. Поэтому теперь приравняем к 0 каждый из наших множителей:
1) х + 3 = 0
2) (х - 1)(х + 3) - 5 = 0
Мы получили два уравнения. Теперь всё, что от нас требуется – это их решить. Приступаем!
1) х + 3 = 0
х = - 3
2) Тут ситуация посложнее. Нужно раскрыть скобки. Вперёд!
(х - 1)(х + 3) - 5 = 0
х^2 + 3х – х – 3 – 5 = 0
Приведём подобные слагаемые:
х^2 + 2х – 8 = 0
Мы получили квадратное уравнение. Вспомним формулу дискриминанта:
Продолжаем:
D = 4 + 4*8 = 4 + 32 = 36 = 6^2
Х1 = (- 2 + 6)/2 = 4/2 = 2
Х2 = (- 2 - 6)/2 = - 8/2 = - 4
Вот мы и получили ответы! А почему корней уравнения именно 3? Потому, что это уравнение третьей степени. Если бы мы изначально раскрыли скобки, то получили бы х^3
Ответ: -3; 2; -4
А вот так выглядит решение без лишних пояснений:
Попробуйте сами решить подобное уравнение для тренировки:
х(х^2 + 2х +1) = 6(х + 1). Оно решается по той же схеме! Ответы пишите в комментариях)
Надеюсь, всё было максимально понятно :)
До новых встреч!!
