Я решил рассказать о теореме Безу - что она гласит и ее доказательство. Но для начала я скажу пару слов о том, кто ее придумал и доказал.
Это был французский математик Этьен Безу(1730-1783гг.). Он изучал теорию чисел. С его именем связаны кольцо Безу, теорема Безу, соотношение Безу и т.д. И сегодня я как раз расскажу о теореме Безу
Теорема гласит: "Остаток от деления многочлена f(x) на x-a равен f(a): f(x)=(x-a)*g(x)+f(a)".
Можно разобрать на примере:
Пусть есть многочлен f(x)=x^2+2x+1, который мы хотим поделить на x-1. Теорема Безу гласит, что f(a) - это и есть остаток. В данном случае a=1. Тогда f(a)=1^2+2+1=4. Значит остаток равен 4. Проверим:
Работает!
Теперь надо доказать теорему Безу.
Итак, пусть f(x) - произвольный многочлен. Разделим его на x-a с остатком. Причём степень остатка должна быть меньше степени делителя. А т.к. делитель имеет первую степень , то остаток будет иметь нулевую, т.е. будет просто числом. Пусть частное будет g(x), а r - остаток. Тогда f(x)=(x-a)*g(x)+r. Давайте подставим x=a. Получится f(a)=(a-a)*g(a)+r т.е. f(a)=r. Таким образом, остаток r равен f(x) при x=a, что и требовалось доказать!
А напоследок пару задач для закрепления материала:
1) Миша загадал число. Он возвел его в сотую степень, прибавил это же число, но теперь в десятой степени и прибавил один. Какой будет остаток от деления полученного числа на первоначальное число минус один?
2) При каком a многочлен f(x) = x^3+ax-10 делится на x-2 без остатка?
И для совсем смелых:
3) Докажите, что x^10 и x^6 дают одинаковый остаток при делении на x+1.
Ответы на №1 и №2 пишите в комментариях, а на №3 пишите на почту:)
Удачи!
До новых встреч!