Предел числовой последовательности
Понятие числовой последовательности довольно важная составляющая жизни человека. Её можно увидеть абсолютно везде, начиная с нумерации этажей в жилом доме и заканчивая количеством прожитых человеком лет.
Существует несколько видов числовых последовательностей, например, арифметическая и геометрическая прогрессии (которые в свою очередь различают на постоянную, возрастающую или убывающую последовательности). Но существуют также и другие последовательности.
Определение 1. Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел.
Определение 2.
Примером предела числовой последовательности является замечательный предел
Сумма ряда
Определение 1. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида:
Определение 2. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида:
Определение 3. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм.
Определение 4. Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм этого ряда:
Определение 5. Ряд называют расходящимся, если предела при n стремящимся к бесконечности не существует.
Определение 6. Признак сходимости числового ряда – это метод, позволяющий определить сходимость или расходимость бесконечного ряда.
1. Ряд с неотрицательными членами называют знакоположительным.
2. Ряд, члены которого могут быть как положительны, так и отрицательны называют законопеременным.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Определение 1.Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Рассмотрим пример такой прогрессии. Пусть у нас есть квадрат со стороной 1. Площадь такого квадрата тоже равна 1. Разобьем этот квадрат на два равных прямоугольника, тогда площадь каждого из них равна ½. Проделаем это несколько раз и заметим, что площади прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/2 и первым членом b1=1/2
Формула суммы nчленов такой прогрессии выглядит так:
При n стремящемся к нулю мы имеем конечный предел последовательности частичных сумм данного ряда, равный 1, а значит, данный ряд является сходящимся, его сумма равна 1.
Число Эйлера как предел некоторых поледовательностей
Константу е впервые вычислил Якоб Бернулли с помощью задачи о предельной величине процентного дохода.
Бернулли заметил, что если исходная сумма вклада равна 1 и вклад осуществляется под сто процентов годовых, то итоговая сумма будет 2. Но если ту же самую проценты по вкладу выплачивать два раза в год, то 1 умножается на 1,5, далее полученную сумму еще раз умножаем на 1,5, получая
Начисления раз в три месяца приводят к
и так далее.
Бернулли показал, что если частоту начисления бесконечно увеличивать, то доход в случае сложного процента имеет предел
и этот предел равен числу Эйлера. Если, допустим, взять огромное количество выплат в год, то складывается ощущение, что можно получить большую сумму денег, оказывается нет, есть предел который нашёл Бернулли и это предел равен числу Эйлера.
Формула сложных процентов, которая подходит под задачи с вкладом менее ста процентов годовых, выглядит следующим образом:
где p– это выплачиваемый годовой процент по вкладу, n – время, на которое был сделан вклад, b1 - вклад.
Число е – важная математическая константа. Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского ученого Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» в 1614 году. Впервые константа присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера Число Эйлера впервые вычислил Якоб Бернулли, а впервые обозначил это число буквой e Эйлер в 1727 году и первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год.
Заключение
Мы узнали, что пределы числовых последовательностй довольно интересная тема для изучения её в школьной программе, так и применение её в повседневной жизни. Разобрались в неизвестных для нас понятиях: предел последовательности, сумма ряда, рассмотрели бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и число Эйлера как предел некоторой последовательности.
