Дополненное свойство угла 30°
Это не секретные знания, это обобщение тем связанных с этим углом и свойством.
Всем (ну или почти всем) знакомо свойство угла в 30° в прямоугольном треугольнике. Одно из самых часто встречающихся свойств. Начальные знания дают в 7-ом классе курса геометрии. Вспомни это свойство и обратное утверждение.
Свойство угла 30°
Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы
Обратное утверждение
Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°
Этими свойствами большинство умеет пользоваться. Так, мы можем найти гипотенузу, если известен катет против угла 30° и наоборот, а можем определить угол треугольника.
Но в 7-ом классе #геометрия не заканчивается и в 8-м добавляется теорема Пифагора, тут и появляется хорошая возможность дополнить это свойство ещё одним отношением.
Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы и в √3 раз меньший другого катета
«И в √3 раз меньший другого катета»
Докажем это простое утверждение на примере прямоугольного треугольника в котором нам известен только угол 30° (ну или 60° – для тех, кто любит посложнее)).
Задача №1
В прямоугольном треугольнике ABC, угол ∠C = 90°, а угол ∠A = 30°. Найдите отношение катетов BC : AC.
Решение:
Пусть катет BC = x, тогда гипотенуза (по сво-ву угла 30°) AB = 2x. По т. Пифагора найдём катет AC. AC = x√3, а отношение катетов BC : AC = x : x√3 = 1 : √3.
Вывод: катет AC больше катета BC в √3 раз, BC : AC : AB = 1 : √3 : 2.
Что нам даёт это знание?
Да практически всё. Теперь по одной стороне в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) можно найти все остальные стороны в одно действие и устно. Пример?
Задача №2.1
Найдите гипотенузу треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, BC = 2.
Решение:
∠A = 30° – по сумме углов. Гипотенуза в 2 раза больше ( по свойству угла 30°) и равна 4.
—————————————
Задача №2.2
Найдите гипотенузу треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, AC = 5√3.
Решение:
∠A = 30° – по сумме углов. Катет BC в √3 раз меньше катета AC и равен 5. Гипотенуза в 2 раза больше катета BC и равна 10.
—————————————
Задача №2.3
Найдите меньший катет треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, AB = 16.
Решение:
Меньший катет – лежит против меньшего угла – BC. BC = 8 – половина гипотенузы.
—————————————
Задача №2.4
Найдите больший катет треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, AB = 2√3.
Решение:
Больший катет – лежит против угла 60° – AC. BC = √3 – половина гипотенузы. AC в √3 раз больше BC, а значит AC = 3.
Касается это не только прямоугольных треугольников, но и равнобедренных, равносторонних, параллелограммов, трапеций и всех фигур, где есть угол 30° (или 60°) — достаточно опустить высоту и всё становится известным.
Синус, косинус, тангенс, котангенс углов 30° или 60°
Да, и их мы тоже легко запоминаем (или вспоминаем) зная дополненное свойство угла в 30° и определение тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg) в прямоугольном треугольнике.
Катет -> гипотенуза -> другой катет:
x -> 2x -> x√3
Читайте также:
🐪 Четвёртый признак подобия треугольников
