Топология – один из самый красивых и странных разделов в математике. Топология изучает явление непрерывности и свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Она рассказывает о поверхностях и превращениях. В топологии все объекты считаются резиновыми. С ними можно делать все, что захочешь, но самое главное — не допускать складок, разрывов и склеек. Топологию по-другому называют "резиновой геометрией". Её интересуют общие свойства, не меняющиеся ни при каких образованиях. Поэтому также топологию называют “геометрией непрерывности”.
Разные типы поверхностей отличаются. Например, сфера и бублик (тор в математике). В сфере любую петлю можно стянуть в точку, а в торе так не получится. В топологии это значит, что они совершенно разные, но зато тор одинаковый по строению с кружкой. Поэтому тор и кружка, с точки зрения топологии, одинаковы. В топологии такие предметы называют гомеоморфными.
История возникновения.
Топология как наука сформировалась, по общему мнению, в трудах великого французского математика Анри Пуанкаре в конце XIX века. Первые наблюдения топологического характера восходят к Л. Эйлеру и К. Гауссу. Начало топологических исследований можно отнести к работам Б. Римана. Им была сделана попытка сформулировать понятие многомерного многообразия и ввести высшие методы понятия связности. Но только А. Пуанкаре ввел целый ряд важнейших топологических понятий. Его идеи и поставленные им проблемы до сих пор существенно влияют на развитие топологии и ее приложений.
Открытые и замкнутые множества.
Окрестность точки А – это n-мерный шар (А, r), т.е. множество всех точек n-мерного пространства, расположенных от А на расстоянии меньше r.
Внутренняя точка фигуры F– это такая точка, у которой есть хотя бы одна окрестность, целиком принадлежащая фигуре F.
Внешняя точка фигуры F– это такая точка, у которой есть хотя бы одна окрестность, целиком не принадлежащая F.
Граничная точка фигуры F– это такая точка, у которой все окрестности содержат как точки, принадлежащие F, так и точки, не принадлежащие фигуре F.
Внутренностей областью фигуры F (intF) называется множество, состоящее из всех внутренних точек фигуры F.
Внешней областью фигуры F (extF) называется множество, состоящее из всех внешних точек фигуры F.
Границей фигуры F называется множество, состоящее из всех граничных точек фигуры F.
Открытое множество – такое множество, в котором все точки являются внутренними.
F = intF (пример – интервал (в n=1), плоскость (в n=2)).
Замкнутое множество – это множество, в котором содержатся все его граничные точки.
F = extF (пример – отрезок (в n=1), любой многоугольник (в n=2))
А если, например, фигура состоит из полуплоскости вместе с частью граничной прямой, то такая фигура неоткрытая и незамкнутая (часть границы принадлежит, а другая часть границы не принадлежит).
Замыкание множества – это добавление к нему всех граничных точек.
Переход от множества к его замыканию состоит в том, что множество пополняется теми своими граничными точками, которые не принадлежат данному множеству
Теорема 1. Замыкание любого множества замкнуто.
Теорема 2. Для того чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием.
Теорема 3. Граница любого множества замкнута.
Некоторые топологические свойства фигур
СВЯЗНОСТЬ.
Топологическое пространство X называется несвязным, если существуют два непустых открытых множества, не имеющих общих точек, в объединении дающих все пространство X. Иными словами, несвязное топологическое пространство Х может быть разбито на два непустых открытых множества, не имеющих общих точек. Примером несвязного пространства может служить дискретное пространство, т.е. пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле (натуральные числа от одного до десяти на числовой прямой).
Пространство называется связным, если такого разбиения не существует.
Также пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ И НЕОРИЕНТИРУМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.
Введем понятие ориентируемости поверхности. Будем считать поверхность прозрачной. Пусть по ней перемещается пара перпендикулярных векторов, касающихся поверхности, - длинный вектор и короткий. В результате обхода 1-2-3-4 вдоль поверхности (а) мы получим пару векторов, которую нельзя совместить поворотом с исходной парой (если обход осуществлять не мысленно, а воспользоваться пластмассовой фигурой, то она перейдёт на другую сторону поверхности). Для поверхности (б) такого обхода не существует, т.е. при любом обходе, не пересекающем край поверхности, пара векторов переходит в пару векторов, которую можно поворотом совместить с исходной парой. Поверхности типа (а) называют неориентируемыми, поверхности типа (б) называют ориентируемыми.
Иными словами, на поверхности задана ориентация, если в каждой ее точке задано направление вращения, причем переносы вдоль любого пути переводят эти направления вращения друг в друга. При этом, конечно, можно ограничиваться переносами вдоль сколь угодно коротких путей (потому что длинный состоит из нескольких коротких). Поверхность, на которой можно задать ориентацию, называют ориентируемой.
Каждую замкнутую ориентируемую поверхность можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на сферу с p ручками. Родом поверхности называется число p. Сфера является поверхностью нулевого рода, тор — первого рода, крендель — второго рода.
Неориентируемую замкнутую поверхность можно представить, как сферу с k отверстиями, где каждое заклеено лентой Мебиуса. Число k называется родом такой поверхности.
ПОВЕРХНОСТЬ С КРАЕМ.
Под поверхностью будем понимать двумерное множество, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу (или евклидовой плоскости).
Под поверхностью с краем будем понимать двумерное множество, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную евклидовой плоскости или евклидовой полуплоскости.
Тор — поверхность без края.
Лента Мебиуса — поверхность с краем.
Род поверхности – это число, которое характеризует порядок связности поверхности.
Гомеоморфизм.
Отображения пространства на себя в евклидовой геометрии являются движениями, в аффинной геометрии – аффинными преобразованиями, в проективной геометрии – проективными преобразованиями. Для топологических пространств такими преобразованиями являются гомеоморфизмы.
Отображение f: х → y называется гомеоморфизмом, если выполнено два условия:
А) f– биекция, т.е. взаимно-однозначное отображение (каждой точке x соответствует какая-то точка y, любая точка y имеет прообраз x, разным х соответствуют разные у)
Б) f и обратное к f непрерывны (то есть окрестность каждой точки переходит в окрестность образа этой точки и наоборот)
В связи с этим свойства фигур, которые сохраняются при гомеоморфизмах в пространствах, имеющих, кроме топологической, и другие структуры, называют топологическими (примеры: любые два интервала гомеоморфны, интервал и числовая ось Rгомеоморфны).
Примеры гомеоморфных и негомеоморфных фигур.
Одномерные фигуры.
Прямая и интервал гомеоморфны.
Можно построить гомеоморфизм интервала на полуокружность.
Сначала мы гнем интервал, превращая в полуокружность. А после мы строим гомеоморфизм полуокружности и прямой путём центрального проектирования. У нас есть центр полуокружности, поэтому каждую точку полуокружности мы проектируем на прямую следующим образом. Из центра через данную точку полуокружности проводим луч до пересечения с этой прямой, точка пересечения луча будет образом точки, которую мы проектируем.
Фигуры на плоскости.
Кольцо и круг не гомеоморфны.
Кольцо и круг не гомеоморфны, потому что в кольце есть не стягиваемая петля, а в круге любая петля стягиваема.
Круг и квадрат гомеоморфны.
Мы делим окружность на четыре части. У нас есть центр проектирования (О) и прямая, на которую мы проектируем. Тогда каждую точку мы проектируем следующим образом. Из центра через эту точку проводим луч до пересечения с этой прямой, точка пересечения луча с прямой будет образом точки, которую мы проектируем. После всех выполненных действий мы получаем квадрат.
Центральное проектирование – это проведении через каждую точку (A, B, С) представленного объекта и определённым образом выбранный центр проецирования прямой линии, после этого на линии отметить точки, которые нужно было спроецировать.
Двумерные поверхности.
Сфера и стакан гомеоморфны.
Сфера без разрывов может превратиться в стакан (делаем с любой стороны сферы углубление). И наоборот, стакан может превратиться в сферу (вытягиваем внутреннюю поверхность дна стакана).
Пончик и кружка гомеоморфны.
Пончик и кружка гомеоморфны, потому что у них есть одно отверстие, а как мы знаем, в топологии можно растягивать и гнуть, но не создавать складок, разрывов и склеек. Поэтому из кружки можно сделать тор, и из тора можно сделать кружку.
Сфера и тор не гомеоморфны.
На сфере любую замкнутую линию можно стянуть в точку, а на торе не всякую петлю можно стянуть в точку. То есть сфера – поверхность с порядком связности, равным одному, а тор – поверхность с порядком связности равным двум. Почему у сферы порядок связности равен одному, а у тора нет? У сферы порядок связности равен одному, потому что любая петля на ней разбивает ее на две части. А на торе недостаточно одной петли, чтобы разбить его на две части.
Поверхности с краем.
Лента Мебиуса.
Лента Мебиуса – это такая двумерная, неориентируемая поверхность с краем, которую можно получить после выполнения следующих действий:
1. Вырезать из бумаги полоску.
2. Положить полоску на ровную поверхность.
3. Один конец придерживать рукой, а другой поворачивать, чтобы полоска перевернулась на 180 градусов, и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеивать концы перекрученной полоски.
Рассмотрим свойства ленты Мебиуса.
Край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности.
Лента Мебиуса – неориентируемая поверхность (если поставить точку в любом месте ленты Мебиуса и двигать её вдоль, то через некоторое время ты вернёшься в ту же самую точку).
Мы привыкли, что с предметами, которыми мы сталкиваемся в жизни (лист бумаги) есть две стороны. Но у ленты Мебиуса нет «изнанки» (это можно проверить, ведя линию с любой точки ленты вдоль ее края, со временем ты вернёшься в ту же точку). Поэтому лента Мебиуса – односторонняя поверхность.
Если ленту Мебиуса разрезать вдоль, она не разорвется на две ленты Мебиуса, она останется одна только в два раза длиннее.
Если разрезать ленту Мебиуса, отступая от края на треть ее ширины, то мы получим две ленты, одна – длинная лента с двумя полуоборотами, а другая – короткая лента Мебиуса.
Заключение.
Мы узнали, что топология – это часть очень красивой, необычной и в тоже время очень сложной геометрии, которая посвящена явлению непрерывности и свойствам пространств. Мы разобрались в особенностях и некоторых свойствах топологии, посмотрели примеры различных фигур в одномерном, двумерном пространстве и на плоскости. Познакомились с ранее неизвестными нам фигурами, узнали об их интересных свойствах и особенностях. Мы расширили представление о геометрических свойствах фигур, выяснили, что есть свойства, которые мы изучаем на уроках, измеряем длины, площади, рассматриваем взаимное расположение фигур, а есть свойства, которые совершенно по-другому показывают нам даже знакомые фигуры, с совсем другой стороны.
