В этой статье я хочу рассказать о методе штурма-лиувилля на простом примере колебаний струны и познакомить с историей этой задачи.
Общий случай и задача
Реш ение задач и Штурма-Лиувилля заключается в поиске собственны х функци й , не тождественно равны х нулю и удовлетворяющи х однородному линейному дифференциальному уравнению y'' (x)=μy(x) в интервале 0 < 𝑥 < 1 и граничным условиям: 𝑦 ′′(0) − 𝛼𝑦 ′(0) = 0 и 𝑦 ′′(1) + 𝛼𝑦 ′(1) = 0, где µ ≤ 0, µ - искомое собственное значение, которое обеспечивает существование ненулевого решения задачи Штурма-Лиувилля 𝛼 – параметр задачи, значение которого задано, причем в прикладных задачах имеем условие 𝛼 > 0. Для удобства ищем величину λ ≥ 0, которая связана с собственным значением 𝜇 соотношением 𝜇 = − λ 2 , что обеспечивает условие не положительности собственного значения 𝜇. Общее решение уравнения (1) имеет вид 𝑦(𝑥) = 𝐶1 cos λ 𝑥 + 𝐶2 sin λ 𝑥. Из граничных условий получим систему уравнений для определения произвольных постоянных С 1 и С 2.
Для существования ненулевого решения однородной системы линейных алгебраических уравнений требуется равенство нулю главного определителя системы ∆:
Уравнение имеет нулевой корень, которому согласно решению соответствует собственная функция 𝑦0 (𝑥) = 𝐶1. Положительные значения определяем из трансцендентного уравнения, которое получим из предыдущего уравнения после преобразований получаем :
В известных методах при решении уравнения ( рис.3 ) фиксируют значение параметра 𝛼=𝛼 0 например, графическим методом вычисляют искомые корни, как абсциссы точек пересечения графиков функций 𝒚 = 𝟐𝐜𝐭𝐠(𝝀) и 𝒚 = 𝝀⁄𝜶 − 𝜶⁄𝝀 . Оперaтором Штурмa-Лиувилля называется дифференциaльный оперaтор 2-го порядкa:
в котором коофеценты p(x) и q(x) удовлетворяют условиям:
p( x ) непрерывно дифференцируемая, а q(x) непрерывн а на [ a , b ], а также ρ(0), p(x) > 0 , q(x) ≥ (0), x∈ [ a, b ]
Задача состоит в том, чтобы отыскать такие числа λ при которых будет существовать нетривиальное решение данной задачи (рис.1.2)
Эта зaдaчa нaзывается крaевой зaдaчей на собственные знaчения и собственные функции для оперaтора Штурма-Лиувилля. А числа λ, которые дают нетриви a льные реш e ния называют собственными значениями.
Теперь можно привести примеры решение задач:
Основным источником задач Штурма — Лиувилля служит так называемый метод Фурье решения уравнений в частных производных . Его суть можно объяс
нить на примере уравнения колебаний струны, представим струну, натянутую вдоль оси OX между точками х = 0 и х = l (рис2.1) . Через u(x; t) обозначается положение точки струны в момент времени t, изначально точка находилась в покое на оси OX. E сли учесть, что струны колеблятся только в вертикальном направлении, то тогда функция u удовлетворяeт такому уравнению (рис.2.2):
Это уравнение (рис.2.2) называется уравнeнием свoбoдных кoлeбаний стрyны.
Кооффицент r в уравнении св o бодных к o лебаний струны физически обратно пропорционален натяжению струны, поэтому его можно считать положительным числом. Концы струны закреплены на точках 0 и l, математически это можно выразить так (рис.2.3):
Также для нахождение единственного решения уравнения необходимо задать начальные условия скорости и положения каждой точки струны. Это задаётся двумя функциями (рис.2.4), (рис.2.5):
Метод штурма заключается в том, сначала находятся частные и нетривиальные решения задач вида: u(x, t) = y(x) * τ (x) , а уже затем ищутся в форме рядов (рядов Фурье), составленных из решений предыдущего типа. Подстановка u(x, t) = y(x) * τ (x) в уравнение (рис.2.2), после некоторых преобразований, выводится в следующие уравнение (рис.2.6):
Поскольку правая и левая части уравнения являются функциями с разными коофицентами (х и t ), то оно решается только в том случае, если обе части принимают одинаковое значение, оно обозначается через λ . Таким образом уравнение (рис.2.6) равнозначно системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка (рис.2.7):
уравнение τ `` + λ * τ = 0, t ≥ 0 изучается тривиально, так как является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, уравнение y`` + λ* r(x)*y = 0 x ∈ [0, l] является, в совокупности с условиями (рис.2.3), в точности задачей Штурма-Лиувилля.
Далее я рассмотрел другой способ решения задачи на колебания струны, уже без метода Штурма-Лиувилля. Буд у рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. Д вижение точек струны происходит перпендикулярно оси OX и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая дает величину перемещения точек струны с абсциссой x в момент t.
Рассмотрим элемент струны MM '. На концах этого элемента, по касательным к струне, действует сила T. Пусть касательные образуют с осью ОХ углы ϕ и ϕ + Δϕ. Тогда проекция на ось OX сил, действующих на элемент MM ' будет равна R Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ − линейная плотность струны.
Тогда масса элемента струны составляет ρΔx. Ускорение элемента равно а. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь(рис.3.3) . Сокращая на Δx и обозначая , получаем уравнение движения (рис.3.4)
Это и является волновым уравнением. Для полного определения движения струны одного уравнения (рис.3.4) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны, и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Тогда можно сделать вывод, что решение задачи методом Штурма-Лиувилля проще.
ИСТОРИЯ
Н азванна в честь Жозеф а Лиувилл я французского математика, который с истематически исследовал разрешимость ряда задач, дал строгое определение понятию элементарной функции и квадратуры. В частности, исследовал возможность интегрирования заданной функции, алгебраической или трансцендентной, в элементарных функциях, и разрешимость в квадратурах линейного уравнения 2-го порядка. Доказал, что специальное уравнение Риккат и интегрируется в квадратура х только в тех случаях, которые были даны ещё Бернулли .
