Иногда приближенная теория может дать тот же результат, что и теория более полная. Это красиво и свидетельствует о родстве теорий, заодно дает наводящие соображения в пользу более общей теории.
Однако подобные успехи не означают, что приближенная теория может заменить более полную!
Очень любопытно, что теория Ньютона может, хоть и с натяжками, дать практически те же результаты, что теория Фридмана: решение Общей теории относительности, соответствующее Космологическому принципу.
Изложение основано на M. Pettini: Introduction to Cosmology — Лекция №2.
Первое рассуждение. Выберем в однородной Вселенной произвольно начало отсчета и пусть все точки (галактики) отдаляются от данного начала по закону Хаббла: v=Hr, где v — скорость, а r — расстояние.
Теперь посмотрим с точки зрения какой-нибудь из галактик A. Любая другая галактика B отдаляется от A со скоростью v(B)-v(A)=H∙(r(B)-r(A)): по тому же закону Хаббла!
Теперь можно ввести некоторое базовое пространство, расстояния в котором не зависят от времени, и масштабный множитель a(t), и выразить любые расстояния r как r=a(t)x, где x — расстояние в базовом пространстве.
Можно представить себе это на примере сферы. Сфера растет в том смысле, что растет ее радиус a, а базовое пространство — это сфера единичного радиуса, глобус. Точки соответствуют один к одному, но расстояния на глобусе от времени не зависят.
Второе рассуждение. Выделим в однородной вселенной с плотностью ρ произвольный шар радиуса r и примем, что материя вне шара не гравитирует. Строго это утверждает теорема Биркгофа из ОТО, менее строго это следует из теоремы Ньютона, ну, мы все это обсуждали. Точки на сфере притягиваются веществом внутри сферы как материальная точка той же массы M в центре.
Тогда можно записать для любой материальной точки массы m выражение для полной энергии U:
Точкой сверх обозначена производная по времени, G — гравитационная постоянная, T и W — кинетическая и потенциальная энергия. Подставим выражение для r через x и немного преобразуем:
Это можно переписать в форме
Получилось не что иное, как уравнение Фридмана. Параметр k не зависит от x, так как все остальные слагаемые в уравнении от x не зависят. Это означает, что энергия U пропорциональна x², и еще массе m. От времени он тоже не зависит, так как энергия сохраняется. То есть это — космологический параметр. Характеристика всей вселенной.
Про частицу, которую мы рассматривали, можно теперь забыть. Так часто бывает в науке: нечто рассматривается не для того, чтобы про это нечто что-то узнать, как правило.
Если k>0, то U<0, и из первого уравнения мы видим: кинетическая энергия T обратится рано или поздно в нуль и расширение сменится сжатием.
Если k<0, то U>0, и даже при практически полном обнулении потенциальной энергии W кинетическая энергия T, практически равная U, останется положительной: это вечное расширение.
Пограничный случай U=0 позволяет решить уравнение
Из уравнения видно, что r растет до бесконечности, а скорость в бесконечности стремится к нулю.
Шаг третий. Закон Хаббла в векторной форме v=Hr означает, что вектор скорости v (производная вектора r) и сам вектор r направлены одинаково. С учетом записи r=a(t)x, можно переписать скорость так:
Это дает нам постоянную Хаббла H, которая может зависеть (и зависит) от времени. Введем еще критическую плотность "ро с ноликом" (тоже для данного момента времени) и перепишем уравнение Фридмана в виде
Отношение плотности энергии во вселенной (она везде одинакова по предположению) ко критической определяет знак параметра k и, следовательно, характер расширения вселенной.
Шаг четвертый. Нам нужно уравнение для плотности. Предположим, что расширение термодинамически обратимо и не сопровождается ростом энтропии. То есть, энергия не рассеивается, переходя в тепловую форму. Тогда изменение энергии E=Mc² связано с работой давления p:
dE=-pdV, где V — объем. Это энергия в объеме, а не энергия U частицы!
Возьмем единичный шарик в базовом пространстве. Тогда можно выразить объем соответствующего шарика в реальном пространстве через a и получить
Подставляя всё это, получаем уравнение
Это давление p не является причиной расширения: это термодинамическая характеристика, хотя лучше сказать — релятивистская. Оно одно и то же во всей вселенной. Это оно стоит на диагонали тензора энергии-импульса в ОТО.
Из уравнения видно, что плотность падает при расширении, что и логично.
Продифференцировав уравнение Фридмана, подставив в него уравнение для плотности и само уравнение Фридмана, мы получим новое уравнение
которое удобнее уравнения Фридмана, ведь в нем нет параметра k. Из него следует, что давление, как и плотность, усиливает гравитацию и тормозит расширение.
Как именно происходит расширение, мы можем вычислить, если зададимся связью плотности и давления: уравнением состояния. Их есть два.
Кстати, если взять уравнения состояния идеального газа, например, или другое "обычное" уравнение состояния, то там давление и плотность имеют приблизительно один порядок величины. С учетом знаменателя в уравнении такое давление "не считается", его гравитация по сравнению с плотностью исчезающе мала.
Первое, это уравнение холодной пыли, p=0. Если галактики не взаимодействуют, кроме как гравитационно, то это разумно. Тогда уравнение для плотности решается и дает ρa³=const, то есть плотность падает пропорционально росту объема. Логично: масса вещества одна и та же, а объем растет.
Если принять k=0, то можно и a(t) найти: оно пропорционально t в степени -2/3. Тогда плотность падает пропорционально 1/t². А константа Хаббла H падает как 2/(3t). Таково расширение плоской вселенной. Под плоской понимаем пока только k=0.
Можно оценить и возраст Вселенной через наблюдаемое значение константы H: t=2/(3H).
Давайте проделаем расчет для удовольствия. Постоянная Хаббла примерно 70км/с на мегапарсек. Парсек это 3 на 10 в 13-ой степени км. Мегапарсек добавляет еще шесть нулей, получаем 3 на 10 в 19-ой степени км. Итак, H у нас сейчас примерно 7/3 на 10 в минус 18-ой степени в единицах 1/с. В итоге получаем примерно 3 на 10 в 17-ой секунд. В году примерно 3 на 10 в 7-ой, так что в годах получается 10 в 10-ой степени. Миллиард — это 10 в девятой, так что возраст Вселенной 10 млрд лет.
На самом деле, 14. Не так плохо!
Второе возможное уравнение состояния называется уравнение излучения: p=ρc²/3. Давление пропорционально плотности, или даже равно, если выбрать подходящие единицы измерения. Так ведет себя излучение, фотоны (если вся энергия, наполняющая вселенную, содержится в них). Тогда получаем ρa⁴= const. Степень равна 4, потому что помимо растущего объема, в котором рассеивается энергия, излучение теряет ее еще за счет красного смещения. Размер a(t) падает как корень из t, а плотность тоже как 1/t². А константа Хаббла падает как 1/(2t).
Радиационное доминирование, которое имело место на ранней стадии, сопутствует менее быстрому расширению, поскольку давление тоже гравитирует (вразрез с бытовым понятием). Но при этом, если пыль присутствует тоже (но ее мало в сравнении с энергией излучения), плотность пыли падает как куб а, а плотность излучения падает как четвертая степень. В итоге радиационное доминирование не может быть долгим. Плотности сравняются, но а продолжает как-то расти, и уже плотность излучения становится малой в сравнении с плотностью вещества.
Такова космологическая модель, основанная почти полностью на физике Ньютона. Она небезупречна, конечно, но проливает свет и облегчает понимание Общей теории относительности. Удивительно, что получаются те же самые уравнения и те же самые формулы и оценки. Впрочем, кривизны невелики, скорости тоже, а в таких условиях Ньютон хорошо приближает Эйнштейна.
Про малые скорости момент тонкий: скорости могут быть и большие, но мы неявно предполагаем, что не релятивистские.
Спасибо за внимание. Ставьте лайк и подписывайтесь, если ещё не.
