Данную статью пишу в развитие темы, затронутой в статье Математическое объяснение почему "-" х "-" = "+".
1.Как я уже говорил, дети прекрасно воспринимают абстракции. В связи с этим о числовой оси надо поговорить подробнее. Как бы я ввел понятие числовой оси.
1) Чертим горизонтальную прямую линию. Это ось.
2) В любом месте на оси ставим точку и обозначаем через "0". (Можно обратить внимание, что эта точка выбирается на прямой произвольно). Точка "0" делит ось на две полуоси, правую и левую. Рис.1.
3) Выбираем отрезок произвольной длины (но значительно меньше длины нарисованной прямой) и примем ее за единицу. Откладывая единицу от точки "0" на правой полуоси сколько угодно раз мы получим любое положительное число. Откладывая единицу от точки "0" влево на левой полуоси сколько угодно раз мы получим любое отрицательное число. Каждое число положительное или отрицательное имеет свое положение на числовой оси. Рис.2.
Как мне думается надо связать число и знак. Например, -3 -отрицательное число. +3 - положительное число. Математики договорились знак "плюс" не писать. Но если написано число 3, то вы должны знать, что это положительное число +3
4) Любое число, в любом месте числовой оси, расположенное правее другого будет больше, а то, что левее меньше. На положительной полуоси и так все понятно. Число 5 расположено правее числа 3 и значит 5 больше чем 3. На отрицательной полуоси -3 расположено правее числа -5, значит -3 больше чем -5. Объяснение будет ниже.
5) СЛОЖЕНИЕ. Откладывая единицу вправо от любого числа нужное количество раз мы производим сложение. Например, 3 + 2 = 5, откладывая от точки 3 отрезок равный двум единицам получим 5, откладывая от точки -5 отрезок равный двум единицам получаем -3, откладывая от точки -2 отрезок равный 3, получаем -2 +3 = 1. Рис.3
6) ВЫЧИТАНИЕ. Откладывая единицу влево от любого числа нужное количество раз мы производим вычитание. Например, 5 - 3 =2; 1 - 4 =-3; -4 - 1 =- 5. Рис.4.
Вычитание можно представить как прибавление отрицательного числа 5 -3 = 5 + (-3).
7) УМНОЖЕНИЕ. Умножение это сложение одинаковых слагаемых.
Откладывая от точки "0" какое-либо число, например, 2 вправо по оси, например, 3 раза, мы производим умножение этого числа 2 на 3. Получаем 6. Откладывая от точки "0" какое-либо число, например 3, влево по оси. 2 раза, мы производим умножение этого числа 3 на (-2). Получаем -6. Рис.5. Умножение двух отрицательных чисел дано ниже.
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА НА СЛАГАЕМЫЕ.
Любое число на числовой оси можно представить в виде двух и более других чисел. Например, 5 = 1+4 =2+3. Как сумма положительных чисел имеем только два варианта. Если же использовать отрицательные числа, то число 5 можно представить бесчисленным количеством вариантов. 5 = 6 - 1; 5 = 12 - 7 и т. д. Так же можно представить и любое отрицательное число. В разложение числа на слагаемые хорошо бы потренироваться.
При вычитании из большего числа меньшее разность положительна. Разность чисел 5-3 =2 ( положительное число). Это понятно. При вычитании из меньшего числа большее разность отрицательна. Это видно из Рис.4. , где из 1 вычитается 4 и получается -3.
Теперь можно объяснить почему -3 больше чем -5. Если вычесть из большего числа -3 меньшее -5, по нашему утверждению, то разность должна быть положительной. В разности (-3) - (-5) число (-3) разложим на два числа (-3) = 2 +(-5). Подставляем 2 + (-5) - (-5) = 2. (-5) прибавляется и вычитается, сокращается, остается 2 (положительное число)6 Значит то что (-3) больше чем (-5) верно.
3 .УМНОЖЕНИЕ НА "+1" и "-1" И ИХ ВЫДЕЛЕНИЕ ИЗ ЧИСЛА.
Мы знаем, что при умножении любого числа (положительного или отрицательного) на 1(единицу) значение числа не меняется. Например, 3 х 1 = 3 ,( точка А на Рис. 6); -3 х 1= -3, (точка В на Рис. 6).
При умножении любого числа (положительного или отрицательного) на -1 (минус единицу) мы получаем число на противоположной полуоси. Например, умножая 3 х (-1) мы получаем -3 (точка В) и, соответственно, умножая (-3) х (-1) мы получаем 3 (точка А). Минус единица заданное число как бы "перебрасывает" с одной полуоси на другую.
Для тренировки можно дать такой пример 5х(-1)х(-1)х(-1). Точка 5 будет прыгать справа налево и обратно с каждым умножением на (-1). Отрицательное число можно представить как положительное, умноженное на (-1).
И наконец, умножение двух отрицательных чисел выглядит так. Если нам надо умножить, например, (-3) х (-2), то выделив (-1) из (-2), или из (-3), получим (-1)х2 или (-1)х 3. Возьмем первый вариант (-2)= (-1)х2 и подставляем вместо (-2). (-3) х (-2) = (-3)х(-1)х2 = 3 х 2 =6 (точка С на рис.6.) Т.е (-1) умноженная на (-3) "перебрасывает" его в положительную полуось.
Вот такая получилась абракадабра. А что делать? МАТЕМАТИКА!!!
До встречи!
