Приветствую Вас, уважаемые Читатели! На своём канале я уже не раз рассказывал про нерешенные математические задачи. Сегодня речь пойдет не от такой известной проблеме, как, например, гипотеза Римана или Гольдбаха. Задача об одиноком бегуне была предложена лишь в 1967 году и относится к теории чисел.
Как и многие легендарные математические задачи она легко формулируется, но очень сложно решается, исключая тривиальные или конкретные случаи. Поехали!
Итак, рассмотрим круговую беговую дорожку единичной длины по которой перемещаются бегуны. В момент времени t=0 все бегуны находятся в одной точке, а затем начинают бежать с разными скоростями, которые выражаются целыми числами.
Бегун считается одиноким в момент времени t он находится на расстоянии не менее 1/n, где n - количество бегунов, участвующих в забеге. На рисунке выше на треке появляется линия, определяющая того или иного одинокого бегуна.
Гипотеза утверждает, что каждый бегун в тот или иной момент времени будет одиноким.
Формальная постановка задачи одинокого бегуна звучит таким образом:
Для двух бегунов задача решается тривиально. Например, если скорость первого 2 единицы ,а нулевого - 1 единица, тогда первый в какой-то момент окажется в диаметрально противоположной точке трека, и оба будут одиноки, ведь расстояние между ними будет равно 1/2. Чтобы понять, как двигаются бегуны, рассмотрим такой рисунок для более сложного случая n=7.
Конечно, такая модель является упрощенной, ведь всё-таки бегуны на самом деле не "прыгают" , а перемещаются равномерно, но значительно упрощает анализ решения задачи, особенно, когда число бегунов больше 2.
Доказательство для шести бегунов, например, занимает полноценные 38 страниц конкретных числовых расчетов, а его авторы утверждают, что для больших чисел сложность возрастает многократно. Для сравнения посмотрите варианты передвижения 7 и 8 бегунов:
Так вот, на сегодняшний, задача решена лишь для чисел от 2 до 7, причем последний успех датируется 2008 годом. Нет, конечно, решения для конкретных наборов скоростей существует (как на анимации выше), однако в общем случае гипотеза так и не доказана.
По поводу этой задачи лично у меня напрашивается аналогия с знаменитой задачей трех тел, где требуется рассчитать траектории объектов (в оригинале планет), которые движутся во взаимном поле тяготения. Как и задача об одиноком бегуне, для 2 тел задача элементарна, а вот дальше начинаются ооочень большие трудности. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Что такое трансцендентные числа ?
