Дисклеймер: я уже сам устал писать что ни в чем нормально не разбираюсь, но тем не менее придется. Я никак не гарантирую непреложную точность формулировок в этой статье или ещё что-нибудь такое. И в целом статья носит познавательно-развлекательный характер, так что я вообще ничего не гарантирую. Не в том мире живем, чтоб гарантии раздавать, ой не в том
Всем кто хочет вдруг захочет начать знакомиться с теорией вероятностей, советую прекрасную книгу Леонарда Млодинова "Несовершенная случайность" (собственно, оттуда я и копипастил все объяснения самым безбожным образом. Хотя возможно ли копипастить что-то посредством осознания материала и пересказа его из своей головы - скорее этический вопрос) или хотя бы одноименный фильм от Науки 2.0
Теория вероятностей, как и теория игр, как и практически любая наука, где присутствует слово "теория", подразумевает огромное количество материала, большая часть которого не предназначена для неискушенных людей со здоровой психикой. Но на поверхности этого айсберга есть куча хайповых тем, которые не задействуют каких-то сложных материалов (собственно, первый закон популярности околонаучных вещей - их должен быть в состоянии понять среднестатистический человек) и при этом звучат эффектно, умно и зачастую неочевидно. Ну а раз так, грех не проходиться время от времени по верхам, собирая всё самое крутозвучащее и набивая таким образом кучу просмотров и комментариев (ну пожалуйста...)
Спидран по основным понятиям
Не то чтоб для объяснения заявленного в теме парадокса (на самом деле не парадокса, но об этом позже) требуются какие-то прямо особенные знания, можно сделать это практически на пальцах, но во-первых объем статьи сам себя не нарастит, во-вторых по-моему всегда приятнее разбираться в теме на уровне чуть повыше чем просто знание какой-то рандомной популярной информации, а в-третьих ну дайте вы мне повыпендриваться своими "знаниями", я практически ради этого канал завел.
Давайте представим что вы кидаете монетку. Ну мало ли, у каждого в жизни было, хочется переложить ответственное решение на волю случая. Так вот, предположим вы живете во вселенной математических моделей и поэтому у вас в руках идеальная сбалансированная монетка без дефектов, ветер не дует, а сами вы мастер спорта по созданию ровных бросков монетки вверх. В таком случае вероятности выпадения орла или решки очевидно будут равны, это довольно таки несложно понять. Но даже на таком простом примере можно ввести понятие пространства элементарных событий (морально приготовьтесь те, кто хоть что-то знает в теории вероятностей, мои профанские формулировки были признаны оружием массового поражения) - множество всех исходов случайного эксперимента.
В случае с однократным подбрасыванием монетки их собственно всего два - выпадет орел (О) и выпадет решка (Р). В этой ситуации они равновероятны, но вообще это далеко не обязательное условие. Собственно, "гениальная" шутка про то, какова вероятность встретить динозавра (по логике этой шутки 0,5 - вы либо встретите его, либо не встретите) строится как раз на предположении о том, что все исходы равновероятны, хотя в данном случае это очевидно не так.
Казалось бы, зачем а главное зачем вводить все эти штуки, если оно и так понятно. Но посмотрим чуть более веселую ситуацию.
Допустим, вы решаете идеально кинуть свою идеальную монетку не один раз, а целых два (не самая лучшая идея кидать её четное количество раз если вы таким образом принимаете решение, но кто вас знает). И что тогда? Это всё ещё довольно таки интуитивно понятная ситуация для современного человека, но если провести небольшой экскурс в историю, то в 18-ом веке Д'Аламбер - умный чел, математик, автор нескольких работ по теории вероятностей, короче шарящий мужик - рассматривал эту ситуацию так:
При двух бросках монет может выпасть либо два орла, либо один, либо ни одного. Следовательно, вероятность для каждого из этих исходов равна 1/3
Звучит сначала даже как будто бы логично, на самом деле это неправда.
Чтобы понять где такой умный чел нам наврал, нужно просто посмотреть на пространство элементарных событий так, как и в прошлом случае:
Обозначим выпадение орла за О, выпадение решки за Р. Тогда очевидно что исходами могут быть: ОО - оба орла, РР - обе решки, ОР - первый раз выпал орел, второй решка, РО - наоборот. Случаи ОР и РО - два различных исхода со своими собственными вероятностями.
Тогда через простейшую формулу для равновероятных исходов P=m/n, где m-число удовлетворяющих условию исходов, n - их общее количество можно найти, что вероятность выпадения двух орлов, как и нуля орлов равна 0,25, в то время как вероятность выпадения одного орла 0,5.
Очевидная мораль такова, что перед тем как считать вероятность по формуле для равновероятных исходов стоит убедиться, что они действительно равновероятные (ну и ещё умные люди тоже могли ошибаться, особенно если они жили несколько веков назад).
Задача Монти Холла
Любовь людей называть парадоксом всё, что возможно, не знает границ, но все-таки задачу Монти Холла стоит называть именно задачей, потому что никакого противоречия там нет, а слово "парадокс" его подразумевает (по крайней мере если смотреть на сугубо строгое значение. Понятно, что при желании парадоксом можно назвать что угодно, где верное решение противоречит ожиданиям большинства). Но это всё лирика, перейдем к сути.
Формулировка
В классическом варианте, который вошел в историю благодаря передаче "Let's make a deal" (сама задача названа в честь ведущего этой передачи), фигурируют машина и две козы, но это как-то слишком тривиально, а я люблю завернуть что-нибудь похлеще, желательно из культуры, поэтому воспользуюсь своей не знающей границ фантазией, чтоб перенести всё это на всеми любимого Шерлока.
В конце первой серии первого сезона Шерлок играет с таксистом в игру с двумя пузырьками, где в одном находятся таблетки с ядом, а в другом пустышки. Возьмем и безжалостно перекроим правила этой игры, чтоб подогнать её к задаче Монти Холла:
Перед Шерлоком на столе стоят три пузырька с абсолютно одинаковыми по всем признакам таблетками. В одном из флаконов пустышки, в двух других яд, который имеет не самое приятное свойство убивать людей. Детективу предлагается выбрать один из трех пузырьков и выпить его содержимое.
Поскольку никакого шанса отличить один пузырек от другого у него нет, бедняга Шерлок должен просто выбирать наугад (не считая варианта отказаться к чертовой матери от этой странной игры). Соответственно не трудно понять, что шанс просто проглотить таблеточку без последствий составляет 1/3, а перспектива благополучно скончаться - 2/3. В итоге таксист решает немного сжалиться над Холмсом и добавляет ещё одного условие:
После того, как Шерлок сделает выбор, таксист (который, разумеется, знает что в каком пузырьке находится) уберет один из оставшихся пузырьков с ядом и предложит Шерлоку изменить его выбор. Стоит ли ему это делать?
На первый взгляд это какая-то полная бессмыслица: количество пузырьков сменилось с трех на два, но Шерлок всё ещё понятия не имеет в каком из них обычные пилюли, так что по сути выбирает наугад между двумя, а значит вероятность выжить 0,5. Звучит очевидно и интуитивно понятно, но это не так.
Решение
Рассмотрим для начала первый выбор Шерлока. Как уже было сказано, случайный выбор между тремя пузырьками дает вероятность 1/3 выбрать хороший вариант. Рассмотрим оба случая.
- Пусть Шерлок обладает прекрасной интуицией и выбрал сразу правильный пузырек. Тогда, какой бы пузырек ни убрал таксист, в оставшемся всё равно будет яд и Холмсу нет смысла менять свой выбор. Насколько вероятна такая ситуация? Очевидно, вероятность её равна 1/3 , мы же исходим из предположения что Шерлок из трех сосудов наугад выбрал верный.
- В другом случае Шерлоку не так повезло и он при первом выборе ткнул в пузырек с ядом. Что тогда сделает таксист? Невыбранными остались только пустышки и один флакон с отравой. Но так как таксист обещал убрать невыбранный яд, ему больше ничего не остается (предположим что он честный человек). То есть на втором шаге в этом случае пустышки гарантированно (то бишь с вероятностью 1) будут в том пузырьке, который Шерлок не выбрал. При таком раскладе ему очевидно нужно изменить свой выбор. Вероятность оказаться в такой ситуации равна 2/3 , так как единственный случайный выбор в ней - самое первое решение Шерлока.
Рассмотрением этих двух случаев мы по сути определили пространство элементарных событий, поскольку никаких других ситуаций здесь быть не может. Более того, у нас даже есть вероятности для этих двух исходов - 1/3 и 2/3 соответственно. Так что, как бы странно это ни звучало, при смене выбора Шерлок остался бы в живых не с вероятность 0,5 а с вероятностью 2/3.
Почему так происходит? Потому что таксист своим вмешательством в игру сделал её уже не чисто случайной. Поскольку он знал что находится в каком пузырьке, его выбор не был случайным и он не мог, к примеру, убрать сосуд с пустышками во втором случае. Собственно знание ведущего в этой игре и является ключевым, именно из-за него вероятность распределяется таким неочевидным образом.
Больше пузырьков
Если вдруг вы всё ещё ничерта не поняли, это нормально)) Возможно, с этим нужно ознакомиться несколько раз и возможно в более адекватном источнике, чем моя статья. И напоследок приведу ещё один пример, который помогает восприятию. Снова вернемся к нашим флаконам, только их будет намного больше, к примеру 50.
Если вы даже сейчас сидите в легком недоумении, не расстраивайтесь. Этот кажущийся парадокс вызывал очень много споров и опять же знаменитый математик Пал Эрдёш долгое время упорно стоял на том, что вероятность будет 0,5. Но места для ещё одной исторической справки не осталось, поэтому рассказывать подробнее я не буду.
В общем-то, на этом всё, и как теперь можно понять никакого парадокса в задаче Монти Холла нет, если попробовать внимательнее разобраться в нем с точки зрения теории вероятностей. Спасибо за внимание, надеюсь вероятность того, что вы захлебнулись в воде, равна нулю.
