В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠ АСВ = 30° , АВ = √2, СС1 = 4.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра
Решение:
a) Проведём B1C1 параллельно ВС, тогда ∠ (АС1;ВС) = ∠ (AC1;B1C1) = ∠ AC1B1
△ ABC - прямоугольный, так как АС - диаметр окружности
△ АВС: sin ∠ ACB = AB/AC → 1/2 = √2/AC → AC = 2√2 → AO = CO = r = √2
cos ∠ ACB = BC/AC → √3/2 = BC/(2√2) → BC = √6 = B1C1
△ ACC1: AC1² = AC²+CC1² = 8+16 = 24 → AC1 = 2√6
△ AA1B1: AB1² = AA1²+A1B1² = 16+2 = 18→ AB1 = 3√2
△ AB1C1: AB1² = AC1²+B1C1²-2·AC1·B1C1·cos ∠ AC1B1
18 = 24+6-2·2√6·√6·cos ∠ AC1B1
cos ∠ AC1B1 = 1/2 → ∠ AC1B1 = ∠ ( АС 1; ВС ) = 60°
б) Пусть площадь боковой поверхности = S
S = 2·π·r·h, где r - радиус окружности, h - высота цилиндра
S = 2·π·√2·4 = 8√2·π = 8√2π
Ответ: б) 8√2π
