Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжим наше путешествие в мир удивительных чисел и познакомимся с очередными его представителями - числами Ферма, названными в честь француза, гипотеза которого несколько сотен лет буквально сводила с ума весь белый свет. Поехали!
Математик-любитель Пьер Ферма занимался исследованием чисел такого вида:
Уже в самом начале он предположил, что все такие числа простые. Вывод был сделан на скорую руку:
А ведь уже пятое число было составным. Факторизация для того времени была очень сложной задачей, поэтому разложить пятое число Ферма на множители смог только через несколько десятков лет Леонард Эйлер. Он показал, что 4294967297 = 641*6700417
Представляете, каково это было делать без ЭВМ?
На этом на уже более 300 лет связь простых чисел и чисел Ферма была прервана. На сегодняшний день найдено всего несколько сотен чисел Ферма, что неудивительно, ведь уже 9-е число больше, чем гугол (с), а 334-е - чем гуголплекс (10 в степени 10¹⁰⁰), но ни одного просто среди них так и не найдено.
Стоит отметить, что удалось проверить на факторизацию только 32 числа Ферма, с остальным вычислительные мощности пока не справляются
Впрочем, самое поразительное применение числа Ферма нашли в задачах построения правильных многоугольников. Кто же еще, как не Леонард Эйлер смог показать, что возможность такого построения прямо зависит от чисел Ферма!
Его теорема гласит, что можно построить лишь такой n-угольник, где n вычисляется по формуле выше. И тут мы получаем удивительный вывод: оказывается, что пока не найдено следующих простых чисел Ферма, циркулем и линейкой невозможно построить многоугольник с нечетным количеством сторон, превышающим 4294967295 (меньше на 2, чем пятое число Ферма) !
Если попытаться описать такой многоугольник около земного экватора, то каждая из его сторон будет составлять 9,3 мм !
Конечно, строить такое количество углов навряд ли кому-то придет в голову, а вот с числами поменьше связана одна любопытная история: немецкий математик Иоганн Густав Гермес более, чем за 10 (!!!) лет нашел способ построения правильного 65537-угольника, опубликовав рукопись об этом поистине титаническом труде на 200 страницах! Вот как человек был увлечен и влюблен в математику! Спасибо за внимание!
