Ребята, давайте вспомним седьмой класс и график функции "Парабола". Как мы помним, уравнение параболы: y=x2=1∗x2y=x2=1∗x2.
А что будет, если вместо единицы подставить любое другое действительное число? Давайте рассмотрим две функции: y=2x2y=2x2 и y=0,5∗x2y=0,5∗x2.
Составим таблицу значений для каждой из функций. Начнем с y=2x2y=2x2.
Для функции y=0,5∗x2y=0,5∗x2.Отметив соответствующие точки на координатной плоскости и соединив их линией, получим следующие графики.
Оба графика похожи между собой. Давайте нарисуем их на одной координатной плоскости и найдем сходства и отличия.
Каждый из этих графиков называется параболой. Точка с координатами (0;0) называется вершиной параболой. Ось ОY – ось симметрии параболы. Оба графика направлены вверх или, по-другому говорят, что "рога параболы" смотрят вверх. Графики параболы мы можем описать уравнением: y=kx2y=kx2.
Но у этих двух графиков есть и отличия. Один – шире другого и стремится вверх медленнее, чем первый. То есть скорости параболы отличаются. Чем больше коэффициент kk, тем быстрее парабола стремится вверх или тем более узкой она становится (прижимается к оси OY). Чем меньше коэффициент kk, тем медленнее парабола стремится вверх или тем более широкой становится (отдаляется от оси OY).
В общем случая график параболы y=kx2y=kx2, k>0k>0 строится так же. Для начала можно построить таблицу значений и отметить все точки, после соединив их кривой. Но у всех парабол вершина находится в начале координат, ветви направлены вверх, и ось ординат является осью симметрии параболы.
А что будет, если коэффициент параболы k<0k<0? Давайте построим график по точкам и посмотрим, что у нас получится.
y=−x2y=−x2.
Ребята, посмотрите внимательно на график. У нас получилась такая же парабола, только ветви смотрят вниз. Можно сделать вывод, что при k<0k<0 сохраняется все свойства параболы, описанные выше, только ветви смотрят вниз.
Давайте обобщим полученные знания.
Графиком функции y=kx2y=kx2, где kk – любое действительное число, является парабола с вершиной в точке (0;0)(0;0), ось симметрии – ось ординат, ветви параболы направлены вверх, если k>0k>0. Ветви параболы направлены вниз, если k<0k<0.
Давайте прочитаем наши графики и опишем основные свойства.
Начнем с графика y=kx2y=kx2, k>0k>0. Для наглядности перенесем сюда один из построенных ранее графиков.
Свойства функции y=kx2y=kx2, k>0k>0
1. Область определения. Мы можем вычислить значение функции в любой точке х. Тогда функция определена при хϵ(−∞;+∞)хϵ(−∞;+∞).
2. y=0y=0 при x=0x=0, y>0y>0 при x≠0x≠0. Данное свойство очевидно и хорошо видно на графике.
3. Непрерывная функция. График проходит сплошной линией, точек где функция разрывается нет.
4. Наибольшего значения нет. По графику видно, что функция бесконечно уходит вверх.
Наименьшее значение y=0y=0 при х=0х=0. Чтобы найти наименьшее значение, надо на графике найти самую нижнюю точку. Такой является точка с координатами (0;0)(0;0).
5. Функция возрастает при x>0x>0. Функция убывает при x<0x<0.
Давайте посмотрим внимательно на наш график. По нему видно, что функция всегда проходит выше прямой y=0y=0. Такое свойство называется "ограниченность снизу".
6. Функция ограничена снизу прямой y=0y=0.
Так же бывает и "ограниченность сверху". Если функция всегда проходит ниже некоторой прямой, то она является ограниченной сверху.
7. Область значений функции: [0;+∞)[0;+∞).
8. Функция выпукла вниз.
Свойства функции y=kx2y=kx2, k<0k<0.
1. Область определения хϵ(−∞;+∞)хϵ(−∞;+∞).
2. y=0y=0 при x=0x=0, y<0y<0 при x≠0x≠0.
3. Непрерывная функция.
4. Наименьшего значения нет. Наибольшее значение – y=0y=0 при х=0х=0.
5. Функция возрастает при x<0x<0, функция убывает при x>0x>0.
6. Функция ограничена сверху прямой y=0y=0.
7. Область значений функции: (−∞;0](−∞;0].
8. Функция выпукла вверх.
Ребята, давайте вспомним седьмой класс и график функции "Парабола". Как мы помним, уравнение параболы: y=x2=1∗x2y=x2=1∗x2.
А что будет, если вместо единицы подставить любое другое действительное число? Давайте рассмотрим две функции: y=2x2y=2x2 и y=0,5∗x2y=0,5∗x2.
Составим таблицу значений для каждой из функций. Начнем с y=2x2y=2x2.
Для функции y=0,5∗x2y=0,5∗x2.Отметив соответствующие точки на координатной плоскости и соединив их линией, получим следующие графики.
Оба графика похожи между собой. Давайте нарисуем их на одной координатной плоскости и найдем сходства и отличия.
Каждый из этих графиков называется параболой. Точка с координатами (0;0) называется вершиной параболой. Ось ОY – ось симметрии параболы. Оба графика направлены вверх или, по-другому говорят, что "рога параболы" смотрят вверх. Графики параболы мы можем описать уравнением: y=kx2y=kx2.
Но у этих двух графиков есть и отличия. Один – шире другого и стремится вверх медленнее, чем первый. То есть скорости параболы отличаются. Чем больше коэффициент kk, тем быстрее парабола стремится вверх или тем более узкой она становится (прижимается к оси OY). Чем меньше коэффициент kk, тем медленнее парабола стремится вверх или тем более широкой становится (отдаляется от оси OY).
В общем случая график параболы y=kx2y=kx2, k>0k>0 строится так же. Для начала можно построить таблицу значений и отметить все точки, после соединив их кривой. Но у всех парабол вершина находится в начале координат, ветви направлены вверх, и ось ординат является осью симметрии параболы.
А что будет, если коэффициент параболы k<0k<0? Давайте построим график по точкам и посмотрим, что у нас получится.
y=−x2y=−x2.
Ребята, посмотрите внимательно на график. У нас получилась такая же парабола, только ветви смотрят вниз. Можно сделать вывод, что при k<0k<0 сохраняется все свойства параболы, описанные выше, только ветви смотрят вниз.
Давайте обобщим полученные знания.
Графиком функции y=kx2y=kx2, где kk – любое действительное число, является парабола с вершиной в точке (0;0)(0;0), ось симметрии – ось ординат, ветви параболы направлены вверх, если k>0k>0. Ветви параболы направлены вниз, если k<0k<0.
Давайте прочитаем наши графики и опишем основные свойства.
Начнем с графика y=kx2y=kx2, k>0k>0. Для наглядности перенесем сюда один из построенных ранее графиков.
Свойства функции y=kx2y=kx2, k>0k>0
1. Область определения. Мы можем вычислить значение функции в любой точке х. Тогда функция определена при хϵ(−∞;+∞)хϵ(−∞;+∞).
2. y=0y=0 при x=0x=0, y>0y>0 при x≠0x≠0. Данное свойство очевидно и хорошо видно на графике.
3. Непрерывная функция. График проходит сплошной линией, точек где функция разрывается нет.
4. Наибольшего значения нет. По графику видно, что функция бесконечно уходит вверх.
Наименьшее значение y=0y=0 при х=0х=0. Чтобы найти наименьшее значение, надо на графике найти самую нижнюю точку. Такой является точка с координатами (0;0)(0;0).
5. Функция возрастает при x>0x>0. Функция убывает при x<0x<0.
Давайте посмотрим внимательно на наш график. По нему видно, что функция всегда проходит выше прямой y=0y=0. Такое свойство называется "ограниченность снизу".
6. Функция ограничена снизу прямой y=0y=0.
Так же бывает и "ограниченность сверху". Если функция всегда проходит ниже некоторой прямой, то она является ограниченной сверху.
7. Область значений функции: [0;+∞)[0;+∞).
8. Функция выпукла вниз.
Свойства функции y=kx2y=kx2, k<0k<0.
1. Область определения хϵ(−∞;+∞)хϵ(−∞;+∞).
2. y=0y=0 при x=0x=0, y<0y<0 при x≠0x≠0.
3. Непрерывная функция.
4. Наименьшего значения нет. Наибольшее значение – y=0y=0 при х=0х=0.
5. Функция возрастает при x<0x<0, функция убывает при x>0x>0.
6. Функция ограничена сверху прямой y=0y=0.
7. Область значений функции: (−∞;0](−∞;0].
8. Функция выпукла вверх.
