Метод интервалов алгоритмически довольно прост и обычно не вызывает у школьников каких-либо вопросов. Если понять алгебраическую запись модуля, разобраться в общих чертах с её применением, то дальше нужно просто практиковаться. В альбоме группы выложено два видео (раз и два) с решением уравнений и неравенств с модулями методом интервалов, поэтому разбирать эту тему отдельно смысла нет.
Гораздо интереснее другой вопрос.
А как решать произвольное уравнение или неравенство с модулем? Точнее, в каких случаях нужно пробовать решать через равносильные преобразования (схемы), а в каких через метод интервалов? на основании каких признаков выбирать способ решения?
Обычно школьникам про это никто не рассказывает. Давайте закроем и этот пробел.
**********
Все перечисленные ниже признаки не дают стопроцентной гарантии правильного выбора метода решения. Скорее к ним нужно относиться как к рекомендациям, которые помогут с большей вероятностью решить задачу.
Признак 1
Если у вас несколько модулей, которые складываются между собой, то нужно пробовать решить задачу через метод интервалов. Особенно, если каждое подмодульное выражение является линейной функцией от одной переменной.
Здесь сразу три модуля, поэтому, очевидно, используем метод интервалов.
Признак 2
Более общий случай первого признака. Если в уравнении несколько модулей в разных частях, подмодульные выражения можно адекватно разложить на множители и при этом уравнение после любого раскрытия модулей имеет несложный вид (например, становится дробно-рациональным), то нужно пробовать решать через метод интервалов.
Этот признак выглядит громоздко, поэтому чтобы понять, о чём идёт речь, приведём парочку примеров.
В этом примере модули находятся и в числителе и в знаменателе, причём подмодульные выражения — простые линейные функции. Итог — используем метод интервалов и получаем дробно-рациональные уравнения.
Снова два модуля. Причём слева подмодульное выражение хоть и громозко, мы можем легко разложить его на множители. Поэтому решаем через метод интервалов с выходом на дробно-рациональные уравнения.
Признак 3
Если в задании один модуль и он на что-то домножается, то лучше использовать метод интервалов.
Признак 4
Если у вас есть хотя бы один “модуль в модуле” (иначе “двойные модули” или “вложенные модули”), то лучше всего решать через схему.
Хотя возможны примеры и с аккуратным применением метода интервалов. Например, для вот такого уравнения
Однако, всё равно даже в этом случае рекомендуем использовать схему.
Если у вас больше трёх уровней вложения модулей, то решать только через схему.
Признак 5
Если уравнение уже подготовлено или парой преобразований легко приводится к удобному для схемы виду, то надо смотреть на вид уравнения. Если выражение под модулем громоздкое или плохо раскладывается на множители, то лучше решать через схему. Если выражение вне модуля громоздкое, то лучше решать через метод интервалов.
То есть, вот такое лучше решать через метод интервалов:
А вот такое — через схему:
Однако, возможны и другие вариации:
Здесь левая и правая часть громоздки, но очевидно, что решаем через схему.
Признак 6
Если вы видите несколько модулей, в которых подмодульные выражения очень громоздкие, то возможно следует использовать иные методы работы с модулями.
О них мы поговорим в следующей статье.
