Существует в математике давний “вид спорта”, состоящий в поиске новых доказательств великой теоремы Пифагора:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Ещё в конце девятнадцатого века удалось найти не просто десятки доказательств, а целые их семейства, содержащие по нескольку тысяч вариантов! Это, само по себе, здорово, не думаю, что какая-то ещё математическая теорема была обоснована настолько убедительно.
Давайте сегодня поговорим о том, какие ингридиенты необходимы для того, чтобы эта чудесная теорема была доказана. Например, для приготовления чашечки эспрессо требуется достаточно много необходимых вещей: кофе, вода, чашка, посуда или машина для приготовления напитка, огонь или электричество... Если исключить что-нибудь из этого списка, то и чашечка эспрессо не состоится.
Начнём разговор с того, что рассмотрим три красивых и часто встречающихся доказательства, практически не требующих слов:
Наконец, грамотный девятиклассник может получить теорему Пифагора с помощью теоремы косинусов, подставив в неё прямой угол. О том, что теорему косинусов можно доказать без привлечения теоремы Пифагора, мы говорили недавно.
Ингридиент 1. Длина
В формулировке теоремы Пифагора присутствует термин "длина", которая определена, если пространство в котором мы работаем метрическое. Расстояние между точками в пространстве можно определять по-разному. Можно воспользоваться метриками, использующими координаты, такими, как метрика городских кварталов или метрика Чебышёва. Можно выделить некоторую точку, и определить с её помощью экзотическую французскую железнодорожную метрику. Во всех этих случаях формулировку теоремы Пифагора надо будет существенно корректировать, если не отказаться от неё вовсе.
Но ведь привычная для нас евклидова метрика, при использовании прямоугольных декартовых координат, сама опирается на теорему Пифагора. Нет ли здесь порочного круга: "теорема Пифагора верна в пространстве с евклидовой метрикой, которая, в свою очередь, определяется через теорему Пифагора". В таком случае, надо ли её вообще доказывать, может быть просто свести её к определению метрики?
Понятие расстояния находится в самом сердце евклидовой геометрии, но для её построения не требуется координатной системы. От расстояния между двумя точками (длины отрезка) мы ждём того, что оно не будет меняться при параллельных переносах, и произвольных поворотах относительно произвольной точки, а также отражениях относительно произвольных прямых. Эти преобразования называются изометриями и лежат в основе синтетического метода построения евклидовой геометрии.
Ни одна из перечисленных выше неевклидовых метрик этим свойством не обладает, как и вообще, никакая метрика, кроме евклидовой. Таким образом, расстояние между точками (длину отрезка) мы определяем как величину, не меняющуюся при изометриях, и опираясь на это определение доказываем теорему Пифагора. После этого, вводя перпендикулярные оси и систему координат, мы можем применить теорему Пифагора для определения расстояния между точками через их координаты.
Ингридиент 2. Прямой угол.
Какое бы доказательство вы ни выбрали, в некоторый момент вам потребуется прямоугольность треугольника. Предположим, с метрикой мы разобрались и даже знаем, что такое угол. Но что именно нам требуется от прямого угла?
О прямом угле Евклид пишет в самой первой главе первой книги своих знаменитых Начал, и определяет его как "угол, равный своему смежному". Это прекрасное и очень глубокое определение! Можно несколько переформулировать его в главное свойство, которое нам нужно от прямого угла:
Прямой угол — это половина развёрнутого угла.
Это наводит на мысль, что и развёрнутый угол играет не последнюю роль в приготовлении великой теоремы.
Кроме того, в первой же книге Евклид приводит доказательство тому, что если для треугольника выполняется теорема Пифагора, то он прямоугольный. Получается, что эти два утверждения эквивалентны. Выразим это таким образом:
Так что не бывает прямоугольных треугольников, для которых не выполняется теорема Пифагора, и нет пифагоровых треугольников, кроме прямоугольных. Математики в таких случаях говорят так: теорема Пифагора выполняется тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный.
Ингридиент 3. Сумма углов в треугольнике.
Кроме прямоугольности треугольника, во всех этих доказательствах, явно или неявно, использовалось ещё одно свойство треугольника:
Cумма углов в любом треугольнике равна развёрнутому углу.
Присмотритесь к приведённым выше доказательствам, или к своему любимому, и отыщите, где это свойство используется. Чаще всего, оно пригождается либо для определения подобия треугольников по равенству углов, либо для того, чтобы достроить сумму острых углов прямоугольного треугольника до развёрнутого, чтобы получилась прямая, как в доказательствах с квадратами.
А теперь, давайте вспомним, как доказывается это универсальное свойство треугольников:
Оно опирается на существование единственной прямой, параллельной некоторой стороне треугольника, то есть, на пятый постулат Евклида. Этот пятый постулат незримо присутствует во всех тысячах доказательств теоремы Пифагора и делает её существенно евклидовой. Если мы перенесёмся на сферу или в геометрию Лобачевского, теорема Пифагора в привычном нам виде работать перестанет.
Таким образом, получается, что из пятого постулата Евклида следуют теорема Пифагора и обратная ей теорема:
А можно ли доказать, что теорема Пифагора и евклидовость пространства эквивалентны? Верно ли, что если для любого прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора, то сумма углов в любом треугольнике равна развёрнутому углу, то есть, дело происходит в евклидовой геометрии?
Имея теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, можно обобщить её до теоремы косинусов, работающей в произвольном треугольнике:
Здесь под косинусом мы понимаем некую известную нам функцию от угла. Применим эту теорему к острым углам прямоугольного треугольника для того, чтобы вычислить косинус от суммы его острых углов:
Теперь, дважды воспользуемся теоремой Пифагора. Один раз для вычисления косинусов, а второй -- для вычисления синусов из "тригонометрической единицы":
Исходя из теоремы косинусов и теоремы Пифагора, мы можем заключить, что косинус равен нулю, если его аргумент равен прямому углу. Так мы приходим к выводу, что сумма углов в прямоугольном треугольнике равна развёрнутому углу.
В произвольном треугольнике всегда можно так опустить высоту, что она разобъёт его на два прямоугольных треугольника после чего, зная, что в каждом из них сумма острых углов равна прямому, мы заключаем, что в любом треугольнике углы в сумме дают развёрнутый угол.
Итак, получается что теорема Пифагора выполняется тогда и только тогда, когда в пространстве определена евклидова метрика и справедлив пятый постулат Евклида:
В упомянутой выше заметке показывается эквивалентность теоремы косинусов и евклидовости пространства. Так что правую скобку можно заменить на теорему косинусов.
К одной и той же цели можно прийти разными путями. Это очень полезная практика и в ориентировании на местности, и в математике.
