К вопросу об уравнении Мещерского-Циолковского, о движении ракеты. Мы обсудили само уравнение и его релятивистский аналог, а сегодня обсудим возникший вопрос: как быть с тем, что энергия в итоге не сохраняется, а с импульсом не всё так прозрачно, как хотелось бы.
Напомню задачу. Известно, что масса ракеты с топливом M+1, где М — масса топлива. Скорость реактивной струи v. Найти скорость u ракеты после исчерпания топлива.
Если бы всё топливо было потрачено одномоментно, то закон сохранения импульса u - Mv = 0 сразу дал бы искомую скорость. Но топливо тратится постепенно, и анализ бесконечно-малых приводит к формуле
u = v ln(1+M).
Что всегда меньше, чем vM. Причина в том, что мы разгоняем не только ракету, но и топливо в ней.
Понятно, что энергия не сохраняется, ведь исходно и ракета, и топливо в ней покоились, а в конце и ракета, и топливо движутся, и потому обладают положительной энергией. Как же так?? А закон сохранения?!
Весь секрет во фразе "скорость реактивной струи". Веществу надо придать скорость, то есть сообщить энергию. Выполняя закон сохранения импульса, оно поделится импульсом (и энергией) с ракетой. А откуда берется энергия?
Из топлива, конечно. Ведь в задаче у нас масса топлива и масса реактивной струи, и это всё едино. А на самом деле, топливо — это одно, а выхлоп — это совсем другое. Например, на борту ракеты водород с кислородом (для простоты пусть так), а выхлоп — водяной пар. По килограммам это (почти) одно и то же, но энергию извлекли через химическую реакцию горения и превратили в тепло (а что поделать!) и в кинетическую энергию.
Если знать теплоту горения топлива и температуру (и теплоемкость) продуктов сгорания, можно вычислить всё, что нужно, и закон сохранения будет выполняться. А так у нас в ракете может быть сколько угодно энергии: ведь мы, в рамках классики, игнорируем массу, которой эта энергия обладает. А она обладает, так как нам важна инерция ракеты, а она определяется всей энергией на борту, включая массу ракеты, топлива, химической энергией топлива, тепловой энергией и так далее.
А что, если мы бросаем камни с лодки? Ведь тогда "топливо" и "реактивная струя" состоят из одних и тех же камней.
Да, но энергию камням даёт кидающий. Если имеете вопросы, попробуйте покидать камни минут пятнадцать. По возможности сообщая каждому камню скорость побольше. Потом напишите эссе об источнике энергии при швырянии камней.
Ровно так же работает гребля, только вместо камней — забортная вода, которой весло придает и импульс, и энергию, а по закону сохранения импульса тот же импульс получает весло, передает его через уключину лодке, а та через трение — и гребцу. Про закон сохранения энергии спросите у гребца. Недаром "галера" и "каторга" (те же галеры изначально) стали синонимом тяжкого труда.
А что, если камни или, скажем, вода запасены где-нибудь на верхней палубе и скатываются/стекают вниз сами, без участия людей? В этом случае расходуется потенциальная энергия, которую привнес тот, кто камни или воду затащил. Если же это дождик был, то вопросы к Солнцу, которое воду испарило, воздушные массы переместило и заполнило баки на крыше. Тот, кто ухитрился даровую энергию использовать — молодец.
Если вернуться к космосу и "чистой" ракете, которая летит в пустоте за счет реактивной тяги, то с релятивистской точки зрения вопрос в дефекте масс. Любое топливо, разогнав себя, сконвертировало часть своей массы в кинетическую (и тепловую или ещё какую-нибудь) энергию. В идеале вся масса топлива переходит в энергию, это фотонная ракета. В менее экономных случаях надо знать, какая доля массы в энергию переходит. Для химических топлив коэффициент весьма низок, ничтожная доля массы идет на разгон. Для ядерных или термоядерных установок (теоретически они возможны, ядерная вроде даже то ли уже есть, то ли в разработке) коэффициент чуть побольше, но тоже мал. Аннигиляция не без проблем, но в пределе, если иметь, скажем, только водород и антиводород, можно получить почти единицу. Правда, нейтрино и еще кое-что утащит энергию без всякой пользы... но это уже другой вопрос. Это фотонная ракета.
А фотонную ракету мы уже изучили. В лучшем случае половина массы превратится в энергию ракеты, а половина — в энергию фотонов.
Теперь импульс.
Рассуждение, что выхлоп весь имеет скорость v и поэтому его импульс Mv (а импульс ракеты под конец равен v ln(1+M)) — неверно. Дело в том, что выхлоп имеет разную скорость, поскольку скорость v у реактивной струи только относительно ракеты. См. картинку наверху. Импульс, конечно, сохраняется, но это может быть неочевидно.
Примем скорость струи v за единицу, как и массу самой ракеты. Переменную массу испущенного (сожженного) топлива обозначим m. Тогда переменная масса ракеты есть M-m+1, где М — изначальный запас топлива. Уравнение теперь записывается так: dm=(M-m+1)dv, и его решение с учетом того, что скорость в начале равна нулю, а масса М+1 (всё топливо плюс масса самой ракеты), имеет вид
Если сожжено m килограмм топлива, то каждая порция массой dx имеет скорость v(x)-1 относительно неподвижной системы отсчета (здесь х — масса топлива, сожженного к тому моменту, как данная порция была испущена). Скорость, которую топливо имело вместе с ракетой, это v(x), а -1 — это скорость выхлопа относительно ракеты.
Полный импульс выхлопа есть интеграл от 0 до х от (v(x)-1)dx. Надо добавить ещё импульс ракеты со всем оставшимся топливом на борту: это (M-m+1)v(m).
Производная интеграла по верхнему пределу есть выражение под интегралом на верхнем пределе (что очевидно, если трактовать интеграл как путь, выражение под ним как скорость, а предел как время: мгновенная скорость изменения полного пути и есть скорость в данный момент). Производная импульса самой ракеты равна -v(m)+(M-m+1)v'(m).
Так что производная импульса равна
(v(m)-1)-v(m)+(M-m+1)v'(m) = -1+(M-m+1)v'(m) = -1+(1+M)/(1+M)=0.
Если вам понятия интеграла и производной не слишком привычны, попробуйте рассмотреть дискретный случай: в лодке M камней единичной массы и лодка тоже имеет массу 1. И кидайте их по одному с единичной скоростью, и считайте полный импульс. Только считайте, что камни свой импульс сохраняют, а не падают камнем на дно — это другая история.
Можно проще, без высшей математики. Пусть полный импульс равен нулю к тому моменту, как потрачено m килограмм топлива. Выброс массы dm с единичной скоростью относительно ракеты не меняет полный импульс: ракета получает такой же с противоположным знаком, это выражено в уравнении, а уже набранная скорость (относительно неподвижной системы отсчёта) одна и та же и у ракеты, и у порции топлива. Исходный полный импульс равен нулю, стало быть по индукции он таковым и останется.
Напоследок отметим два момента. Во-первых, импульс ракеты меняется не монотонно: сначала он растет (за счет роста скорости), а потом начинает убывать (за счет снижения массы). То же относится и к кинетической энергии: она сначала растет, а потом убывает.
Например, если масса топлива равна 10 (масса пустой ракеты принята за единицу), то импульс ракеты после расхода 7 единиц топлива равен 4, а конечный импульс равен 2.39. Начальный импульс равен нулю. А энергия, равна 2.9 при m=9 и 2.87 при m=10. На графике нарисованы скорость, импульс и энергия при М=100 (понятно, что единицы измерения у всех трех разные: важна форма кривых).
Этот нюанс немаловажен, если вам нужна разрушительная сила ракеты...
Второй момент: ракета может набрать скорость больше, чем скорость ее реактивной струи. В общем-то, в классической механике скорость ракеты вообще ничем не ограничена. Формула u=v ln(1+M) показывает, что если запас топлива больше, чем е-1≈1.7, то u>v. То есть, если масса топлива вдвое больше, чем масса пустой ракеты, то скорость струи можно превзойти. Если топлива очень много или ракета очень легкая, то скорость вообще может быть любой. В релятивистском случае проявятся, разумеется, релятивистские эффекты, но и там приблизиться к скорости света ничто принципиально не мешает, даже при весьма скромной скорости реактивной струи...