Продолжаем, друзья, выводить релятивистские формулы ракетного движения. В прошлый раз вывели формулу Мещерского-Циолковского, связывающую массу топлива на килограмм полезной массы и итоговую скорость для любой скорости реактивной струи. Классическая формула получается как приближение при малой итоговой скорости и является отличным примером применения исчисления бесконечно-малых. Релятивистская формула такая:
А теперь выведем формулу для фотонной ракеты. В общем-то она получается из нашей подстановкой w=1, но мы выведем ее иначе.
Очень легко запутаться и вывести неправильную формулу!
И есть некоторые поучительные нюансы.
Итак, пусть вся масса топлива переводится в энергию безмассовых фотонов, и они уносят импульс, который в силу сохранения приобретает и ракета (в противоположную сторону). Масса топлива относительно полезной массы у нас М, но энергия фотонов ей не равна! Ее (энергию фотонов) мы пока не знаем и обозначим Ф.
Закон сохранения импульса означает, что весь импульс фотонов (а он тоже равен Ф в системе единиц с=1) приобретет и корабль, масса которого у нас принята за единицу. Импульс тела с массой 1 и скоростью v есть γ(v)v, где γ — множитель Лоренца (γ²(1-v²)=1). Итак, имеем первое уравнение:
γ(v) v = Ф.
Закон сохранения энергии гласит, что суммарная энергия фотонов и корабля после разгона равна исходной массе корабля с топливом:
Ф + γ(v) = M + 1
Здесь мы используем формулу энергии: при массе 1 и скорости v энергия тела равна γ(v).
Отсюда получаем
γ(v)(v+1) = M+1,
что легко сводится к формуле выше.
После некоторой эквилибристики можно получить формулу
А если M велико по сравнению с единицей, то есть топлива несколько килограмм на килограмм полезной массы, то γ ≈ (M+1)/2 ≈ M/2.
При этом Ф тоже приблизительно равно (М+1)/2. Теперь это понятно: половина энергии топлива превратилась в энергию фотонов, а вторая половина — в энергию корабля.
Взяв М=9, то есть девять тонн топлива на тонну полезной массы, мы получаем γ≈5 (точное значение 5.05), то есть 1-v²=0.04, v=0.98c.
Неплохо.
Если ускорение близко к g (это зависит от того, как быстро мы расходуем топливо), то разгон до субрелятивистских скоростей займет порядка года собственного времени (в году примерно 30 млн секунд, так что за год и получается при ускорении 10м/с² как раз около 300 млн м/с), а по неподвижным часам это будет в γ раз больше. В нашем примере около 5 лет.
Надо понимать, что разгоняться можно и два года, и пять, и десять: просто за первый год ракета приблизится к скорости света, а потом пойдет борьба за уменьшение отличия. Грубо говоря, 95% за первый год, 99 за второй, 99.1% за третий, и так далее. А время Земли будет умножаться на достигнутый в конце концов γ.
То же и с применением большого ускорения: можно приблизиться к скорости света сколь угодно близко, взяв достаточно топлива и достаточно быстро его потратив; но время Земли будет умножено на достигнутый γ. И никак это проклятие не обойдешь!
Теперь ещё понятно, в чём проблема с нефотонными ракетами. Выкидывая в космос частицы ненулевой массы, вы выкидываете энергию. При сжигании химического горючего вы тратите крохотную долю массы на разгон (и повышение температуры), то есть "покупаете" импульс, который будет передан и ракете; львиную часть энергии в виде массы вы выкидываете просто так.
Это как выкидывать обогащенный уран руками, полагаясь на отдачу. Можно, но неэффективно. Или выливать бензин с кормы судна струей с высокой скоростью: корабль-то поплывет, но можно добиться большего... если есть техническая возможность, конечно.
Конечно, если скорость струи w велика, близка к скорости света, то импульс у нее будет огромный. Но тогда вы будете очень много энергии/массы тратить на разгон. При w=1 вы всю массу конвертируете в энергию, сама струя массы иметь уже не может. Это и есть фотонная ракета. Даже если там не фотоны, а какие-то другие безмассовые частицы, неважно.
И обратите внимание, что в классической задаче энергия не сохраняется! Изначально ракета в покое и топливо в ней тоже; а в конце ракета разогнана, и топливо разогнано, и энергия и у того, и у другого, положительна. Но это не страшно, так как там важно только сохранение импульса. Энергия взялась не из ниоткуда, а из массы топлива. Просто в классике это так мало, что можно пренебречь. В релятивистской же задаче не всегда можно пренебречь, а в задаче о фотонной ракете точно нельзя.
Зато в этой задаче всё честно: сохраняется всё, и всё на виду.
Практическая реализуемость сценария, конечно, под большим сомнением. Полный перевод массы в энергию возможен, это аннигиляция; но не всякая! При аннигиляции частицы и ее античастицы получаются фотоны, но летят они в разные стороны (если импульс частиц был нуль, то и импульс фотонов тоже нуль). Это можно решить зеркалом, но вы же понимаете. К тому же надо тащить с собой М/2 антивещества плюс к такому же количеству вещества. Если не путаю, там ещё и нейтрино могут образовываться, а они разлетятся в разные стороны и унесут энергию и импульс, не дав ничего взамен.
Но чисто расчетно — да; годик личного времени при земной гравитации, 3-4 тонны антивещества плюс к такому же количеству вещества, жилой отсек весом килограмм 800 для тебя и подруги (вопрос с едой, водой и косметикой для подруги надо решить) и скорость порядка 95-99% от скорости света будет достигнута.
Впрочем, надо понимать: разгон до скорости с данным γ занимает около года личного времени, но для Земли это означает γ лет. Если γ=5, то пять лет уйдет на разгон. За это время можно далеко улететь, но это уже тема отдельной беседы.