Возможно, самый замечательный факт о Вселенной заключается в том, что каждая частица внутри нее: во все времена, в любом месте и при любых условиях, подчиняется одним и тем же законам физики. Правила, по которым играет природа, одинаковы для всех, и, найдя математическую структуру, которая описывает эти правила, мы можем описать и природу. Часто обнаружение новой математической структуры приводит к разработке новой физической структуры, и там, где эта структура точно описывает Вселенную, можно вывести новую физику. Одна из самых захватывающих математических возможностей для нашей Вселенной включает в себя нечто, известное как октонионы, и это приводит нас к вопросу куратора Патреона Педро Тейшейры, который заключается в следующем:
Октонионы, есть ли у них шанс быть ответом на то, как работает наша реальность, или это просто обман?
Давайте начнем с самого начала: с математики, которая лежит в основе физики.
Если бы все, что у вас было в вашем математическом багаже - это действительные числа, вы все равно могли бы сделать очень много. От Галилея до Ньютона, Кулона и Максвелла вся классическая физика строится на основе действительных чисел. Силовые законы, уравнения движения и многое другое можно вывести, не прибегая к математике, более продвинутой, чем набор действительных чисел, включая переменные, константы и зависимые функции.
Но для этого уже требуется математический скачок, на разработку которого ушли тысячелетия: скачок, включающий отрицательные числа. Когда вы бросаете мяч в воздух и спрашиваете, когда он упадет на землю, вы получаете два ответа за раз: один положительный и один отрицательный. Иногда любой ответ может быть правильным, но одна математика не скажет вам, к какой ситуации это применимо. Для этого вам нужны физические условия проблемы, и именно так вы решаете, какой ответ является уместным.
Однако действительные числа, даже если вы включаете как положительные, так и отрицательные числа, имеют предел сложности их математической структуры. Например, любое действительное число, когда вы его возводите в квадрат, всегда дает вам положительное число, независимо от того, было ли действительное число, с которого вы начали, положительным или отрицательным. Однако если вы попытаетесь получить квадратный корень из действительного числа, только положительные числа дадут вам реальный результат. Квадратный корень отрицательного числа не является четко определенным, во всяком случае, если мы ограничимся набором действительных чисел.
Но есть новая математическая структура, которую мы можем добавить в набор, которая дает нам возможность не только определять квадратный корень из отрицательного числа, но и выполнять новые математические операции, которые невозможны только с действительными числами. Это продвижение потребовало введения нового набора чисел: мнимых и комплексных чисел, где мнимое число i определяется как √ (-1).
Вещественное число имеет только действительную часть, определяемую действительным числом: a. Но комплексные числа имеют как действительную, так и мнимую часть, a + bi, где a - действительная часть, а bi - мнимая часть. (b также является действительным числом.) Переходя от действительной к комплексной математике (включая математику теории комплексных групп), может возникнуть совершенно новый набор физических явлений.
Квантовая физика воспользовалась этим необычайным преимуществом, отметив, что порядок, в котором выполнялись квантовые операции, имел огромное значение. Для действительных чисел не имеет значения, умножаете ли вы 2 * 3 или 3 * 2; вы получите тот же ответ. Аналогично, для комплексных чисел (2 + 5i) * (3-4i) совпадает с (3-4i) * (2 + 5i).
Но для квантовых операторов порядок может иметь огромное значение. Если вы измеряете спин квантовой частицы в направлении x, а затем в направлении y, частица будет иметь принципиально иные свойства, чем если бы вы измеряли их в обратном порядке. Это свойство, известное как некоммутативность, требует комплексной, а не действительной математики (в частности, комплексных векторных пространств), чтобы объяснить это.
Тот факт, что квадрат комплексного числа может дать вам отрицательный результат, привел к революционному математическому решению уравнения Дирака, предсказавшему существование «отрицательных квантовых состояний». Первоначально Дирак назвал эти состояния «дырками», но вскоре после этого физики осознали, что на самом деле происходит: это было первое теоретическое предсказание антивещества в форме антиэлектрона или позитрона. Его экспериментальное подтверждение стало одним из важнейших открытий в развитии современной квантовой физики.
Вы могли бы интуитивно подумать, что если бы вы могли найти более сложную, более общую математическую структуру, которая расширяла бы комплексные числа - способ, которым комплексные числа расширяли реальные числа - вы могли бы найти ей новое физическое применение. Если вы попытаетесь получить квадратный корень из комплексного числа, независимо от того, являются ли его действительные и мнимые части положительными или отрицательными, вы все равно всегда получите комплексное число. Этот маршрут не приведет вас к более богатой математической структуре.
Но есть внутренне некоммутативное расширение, которое вы можете применить к комплексным числам: вместо того, чтобы считать i^2 = -1, вы можете определить три независимых объекта, i, j и k, где i^2 = j^2 = k^2 = -1, но где также комбинация i * j * k = -1 . Это набор коэффициентов, где вместо действительного числа (a) или комплексного числа (a + bi) вы получаете то, что известно как кватернион: a + bi + cj + dk.
Кватернионы чрезвычайно полезны в математике, но они также связаны с большим количеством физических приложений. В то время как комплексное число представляет точки в двумерной плоскости (с действительной и мнимой осями), кватернион имеет достаточно размеров и степеней свободы, чтобы описать точки в трехмерном пространстве.
Преобразования Лоренца, которые описывают, как длины сокращаются, а время замедляется при приближении к скорости света, используют группу кватернионов. Общая теория относительности может быть связана с кватернионами в современной алгебре. Слабые взаимодействия включают кватернионы, как и трехмерные пространственные вращения. Некоторые квантовые явления обращаются вспять, если вы поворачиваете свою систему на 360 градусов, но возвращаются к нормальному состоянию, если вы делаете это снова и поворачиваетесь на 720 градусов.
Кватернионы в основном некоммутативны и объясняют, почему вращение трехмерного объекта вокруг одной оси, а затем другой дает вам другое конечное состояние, чем вращение этого же объекта вокруг тех же двух осей, но в обратном порядке.
Итак, вы можете спросить, можете ли вы расширить кватернионы еще дальше? Есть ли другой способ использовать математику, где есть еще один вариант, чтобы открыть еще более богатую структуру?
Ответ - да, но это стоит денег. Следующим шагом к более сложной математической структуре является переход от кватернионов к октонионам, которые имеют по восемь элементов, но это имеет свою цену. Для кватернионов порядок умножения имеет значение, поскольку Q1 * Q2 не совпадает с Q2 * Q1, но кватернионы по-прежнему ассоциативны. Если у вас есть три кватерниона (Q1, Q2 и Q3), то (Q1 * Q2) * Q3 = Q1 * (Q2 * Q3). Но если у вас есть три октониона, они некоммутативны и неассоциативны.
В то время как математика кватернионов связана с рядом известных физических теорий, математика октонионов описывает операции, которые выходят за рамки известной физики, описывая явления, встречающиеся в таких расширениях, как теории великого объединения и теория струн.
Хотя приложения октонионов к физике являются предположительными, есть много веских причин для интереса к этим идеям. Теоретически октонионы показывают вам, сколько пространственно-временных измерений вам нужно для построения суперсимметричной квантовой теории поля. Они связаны с исключительными группами Ли, которые используются для построения теорий великого объединения и которые через группу E (8) играют роль в суперструнных теориях.
Четыре класса чисел, которые мы только что обсудили - действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы - являются особыми в математической области абстрактной алгебры. Эти четыре класса являются единственными алгебрами, где вы всегда можете разделить число на любое число, отличное от нуля, и не получить неопределенность, что делает их единственными существующими нормированными алгебрами с делением.
Если вы попытаетесь расширить октонионы, чтобы сформировать 16-элементную алгебру, вы получите седенионы, которые подчиняются своим собственным некоммутативным, неассоциативным правилам умножения, но потерпите неудачу, если попытаетесь включить деление.
Сами октонионы никогда не станут «ответом» на то, как работает реальность, но они действительно предоставляют мощную обобщенную математическую структуру, которая имеет свои уникальные свойства. Она включает в себя действительную, комплексную и кватернионную математику, а также вводит принципиально уникальные математические свойства, которые могут быть применены к физике, чтобы делать новые, но умозрительные и до сих пор не поддерживаемые предсказания.
Октонионы могут дать нам представление о том, какие возможности могут быть привлекательными с точки зрения расширения известной физики, а какие - менее интересными, но нет конкретных наблюдений, предсказанных самими октонионами. Пьер Рамон, мой бывший профессор, который рассказывал мне об октионионах и группах Ли в физике, любил говорить: «октиононы для физики - это то же, что сирены для Улисса». У них определенно есть очарование, но если вы погрузитесь в них, они могут ввергнуть вас в гипнотическую, неизбежную гибель.
Их математическая структура обладает невероятным богатством, но никто не знает, означает ли это богатство что-либо для нашей Вселенной или нет.
Перевод. Оригинал: Ask Ethan: Could Octonions Unlock How Reality Really Works?
