Координаты материальной точки
С угловыми координатами познакомились в занятии 1. Но очень часто приходится работать с обычными декартовыми координатами. Можно ли описать движение тела по окружности в этом случае. Давайте попробуем!
Пусть материальная точка находится на окружности под углом φ к горизонтали. Проведем через центр этой окружности оси координат:
Теперь спроектируем положение точки на оси. Координата x точки создает отрезок 0x (от начала координат до x). Этот отрезок является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике, образованным радиусом, пунктирной вертикальной линией и отрезком 0x. Если этот отрезок прилежащий катет, то:
Длина пунктирной вертикальной линии равна отрезку 0y, которая является противолежащим катетом. Тогда:
Из занятия 1 мы знаем, что
Подставим зависимость угла от времени в формулы и получим уравнения координат от времени:
Проекции скорости
Теперь попробуем разобраться со скоростью.
Я не буду совершать курс в геометрию и доказывать равенство углов. Сделайте это сами. Очевидно, что из образовавшегося треугольника, где вектор скорости является гипотенузой:
Вспомним, что
Тогда получаем:
Вот и получена зависимость проекций скоростей от времени. Теперь наступает тяжелый момент.
Ускорение при равномерном движении по окружности
Странное словосочетание "ускорение при равномерном движении". Да, именно так. Равномерность здесь говорит об одинаковом изменении угла за одинаковые интервалы времени и, как следствие, одинаковые длины дуг за одинаковые интервалы времени. Посмотрите на векторы скорости в точках 1 и 2:
Вектор скорости меняет направление. Если скорость меняется - значит есть ускорение. Из курса математики мы знаем, что скорость изменения функции - это производная этой функции. А ускорение - это скорость изменения скорости. Если скорость представить в виде функции от времени, то ускорение будет производной функции скорости от времени. У нас есть уже уравнение проекции скорости от времени. Возьмем производную:
В этом занятии производным учить не буду. Посветим этому отдельное время. Вот мы получили уравнения проекций ускорений от времени.
А что если попробовать найти полное ускорение. Ведь есть полная скорость V, а не ее проекции!
Понятно, что проекции ускорений перпендикулярны друг другу, а значит на них можно построить прямоугольник. Найдем так полное ускорение:
Вот так получилось. А как найти его модуль? Конечно по теореме Пифагора:
Во-первых, минусы превратятся в плюсы. Во-вторых, вынесем из под корня квадрат угловой скорости и радиус (это общие множители):
Под корнем осталось великое и основное тригонометрическое тождество, которое равно единице!!! Теперь получаем, что
Классно и просто! А что это? Заменим угловую скорость ее формулой:
Елки-палки! Так это центростремительное ускорение! Именно центростремительное ускорение изменяет направление вектора скорости, "заставляя" тело двигаться по окружности! Вспомните, в 7 классе на физике говорили, что масса - это мера инертности. А инертность - это "нежелание" тела изменять свою скорость (в том числе и ее направление). Так вот для того, чтобы изменить направление скорости, требуется ускорение, которое порождается силой. Но это уже совсем другая история.
А напоследок нарисуем это центростремительное ускорение:
Продолжение на занятии 3.