Математики сделали важный шаг к решению уравнений Навье-Стокса - одной из семи Проблем тысячелетия. Это важнейшие математических задачи, за любую из которых Математический институт Клэя вручит премию в 1 миллион долларов. Математики Калифорнийского технологического института и Института Куранта, Нью-Йорк исследовали важный частный случай Проблемы тысячелетия - уравнение Эйлера. Это уравнение было введено еще в середине XVIII века.
Природа ветров и течений
Уравнения Навье-Стокса являются главным инструментом для прогнозирования поведения жидкостей и газов, но мы все еще не знаем, насколько точно эти уравнения описывают реальные системы. Уравнения настолько важны, что Математический институт Клэя в Нью-Гэмпшире назвал уравнения Навье-Стокса одной из семи проблем тысячелетия: семи самых насущных нерешенных проблем во всей математике. На сегодня решена только одна из этих проблем - Гипотеза Пуанкаре, с которой справился российский математик Григорий Перельман.
Проблема тысячелетия, связанная с уравнениями Навье-Стокса, требует выяснить, всегда ли существуют «гладкие» решения.
Гладкость - это свойство решения, при котором небольшие изменения переменной приводят к небольшим изменениям функции. Если вы слегка нажимаете на педаль газа, - скорость машина меняется тоже "слегка". Если вы чуть касаетесь педали, а скорость становится бесконечно большой, - зависимость не является "гладкой". В таких случаях говорят, что функция имеет разрыв (или сингулярность). Гладкие решения хороши тем, что они предсказуемы, а вот при разрывах решение срывается в полный хаос и предсказать уже ничего нельзя.
Разрывы
Математики надеются выяснить, как ведут себя решения уравнений Навье-Стокса: когда они гладкие, а когда имеют разрывы. Проблема тысячелетия, связанная с уравнениями Навье-Стокса еще недавно казалась нерешаемой, но неожиданно появилась надежда: в статье, опубликованной на сервере препринтов arXiv, Томас Хоу из Калифорнийского технологического института, профессор прикладной и вычислительной математики Чарльза Ли Пауэлла, и Цзяцзе Чен (доктор философии, 22 года) из Института Куранта Нью-Йоркского университета представили решение давней открытой проблемы - так называемой сингулярности трехмерного уравнения Эйлера. Уравнение Эйлера - один из частных случаев уравнения Навье-Стокса. Это уравнение было введено великим Леонардом Эйлером в середине XVIII века.
Трехмерное уравнение Эйлера представляет собой упрощение уравнений Навье–Стокса, а сингулярность — это точка, в которой уравнение начинает разрушаться и "разрывается", как автомобиль, вдруг разгоняющийся до бесконечности.
Хоу и его соавтор Го Лоу в 2014 году обнаружили сценарий, который показал первое численное свидетельство наличия разрыва уравнения Эйлера. Но дальше дело не пошло.
Восемь лет спустя Хоу и Чен представили окончательное доказательство разрыва трехмерного уравнения Эйлера. «Решение начинается с чего-то, что ведет себя хорошо, но затем становится катастрофическим», — говорит Хоу.
«Первые десять лет своей работы я верил, что никакого эйлерова взрыва не существует», — говорит Хоу. После более чем десятилетия исследований Хоу не только доказал, что был не прав, но и разгадал многовековую математическую загадку. Да, уравнение Эйлера при определенных условиях рвется и уходит в хаос.
Доказательство наличия сингулярности в уравнении Эйлера и само по себе крупное достижение, но работа представляет собой огромный шаг вперед в решении проблемы тысячелетия Навье-Стокса. Если уравнения Навье-Стокса тоже "рвутся", это означает, что что-то не так с одним из самых фундаментальных уравнений, используемых для описания природы.
«Структура, которую мы создали для нашего анализа чрезвычайно полезна и для уравнения Навье-Стокса», — говорит Хоу. — «Мы определили многообещающий подход к доказательству разрыва Навье-Стокса. Нам просто нужно найти правильную формулировку, чтобы доказать, что оно тоже рвется».