В прямой пятиугольной призме ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ высота AA₁ равна 3√5, BC=CD=6, а четырехугольник ABDE - прямоугольник со сторонами AB=5 и AE=4√5.
а) Докажите, что плоскости CA₁E₁ и AED₁ перпендикулярны.
б) Найдите объем многогранника CAED₁B₁.
Решение:
Получим сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью AED₁. Для этого соединим точки D₁ и B₁ ( т.к. EA || D₁B₁). Соединим точки A и B₁ (∈ (ABB₁A)). Искомое сечение AD₁B₁A.
Получим часть сечения призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью CA₁E₁. Проведем медиану CH₁ в △СE₁A₁ и построим H₁H₂ || EE₁ || AA₁. Соединим точки H₂ и C. Проведем в плоскости (ED₁B₁A) прямую IH₂ || ED₁ || AB₁. Тогда (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = I.
Продлим стороны ED и AB и проведем через точку C прямую || E₁A₁ || EA. Соединим точки E₁ и F; A₁ и Q. Тогда (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = O₁.
Так как (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = O₁ и (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = I, тогда O₁I - линия пересечения плоскостей.
а) Теперь докажем, что плоскости CA₁E₁ и AED₁ перпендикулярны.
Так как △СE₁A₁ - равнобедренный, CH₁ - медиана, высота и биссектриса, то CH₁ ⟂ E₁A₁; E₁A₁ || EA, и CH₁ ⟂ EA.
(CH₃)² = 6² - (2√5)² = 36 - 20 = 16
CH₃ = 4 = DF
∠E₁ED₁ + ∠D₁EF = 90°
tg∠E₁ED₁ = 5/(3√5) = √5/3
tg∠O₁FE = (3√5)/9=√5/3
Отсюда ∠E₁ED₁ = ∠O₁FE, значит ∠O₁FE + ∠D₁EF = 90° и ∠EO₁F = 90°.
Так как E₁F ⟂ ED₁, а E₁F || H₁C, то H₁C ⟂ ED₁.
Имеем следующее: H₁C ⟂ ED₁ и H₁C ⟂ EA, отсюда H₁C ⟂ (AED₁B₁). Но H₁C ∈ (CE₁A₁), тогда (CE₁A₁) ⟂ (AED₁B₁) или (CE₁A₁) ⟂ (AED₁).
Ч. т. д.
б) Многогранник CAED₁B₁ - пирамида с вершиной C и основанием ED₁B₁A. Так как (CE₁A₁) ⟂ (AED₁), то CI - высота пирамиды CAED₁B₁.
(E₁F)² = (EE₁)² + (EF)² = (3√5)² + 9² = 45 + 81 = 126
E₁F = 3√14
(ED₁)² = (EE₁)² + (E₁D₁)² = (3√5)² + 5² = 45 + 25 = 70
E₁F = √70
△E₁O₁D₁ ~ △EO₁F по двум углам (∠E₁O₁D₁ = ∠EO₁F (вертикальные), ∠E₁D₁O₁ = ∠O₁EF (накрест лежащие)). Тогда E₁D₁/EF = E₁O₁/O₁F или O₁F = 9E₁F/14.
O₁F = 27√14/14 = CI.
ED₁ ⟂ EA по теореме о трех перпендикулярах (DD₁ ⟂ (ABCDE), ED ⟂ EA ).
Тогда ED₁B₁A - прямоугольник. Найдем его площадь:
S = ED₁ ∙ EA = √70 ∙ 4√5 = 20√14
Тогда объем многогранника CAED₁B₁:
V = ⅓ ∙ CI ∙ S = ⅓ ∙ 27√14/14 ∙ 20√14 = 180
Ответ: б) 180