В предыдущей заметке (здесь) мы рассмотрели одно из решений задачи ЕГЭ №17 с параметром. В том случае мы работали с заменой переменной. Попробуем в этом разборе обойтись без нее. Хорошо?
Итак, если вы не видели прошлое решение, с ним можно познакомиться здесь >>
Начнем здесь с нуля. Мы видим, что sint не должен быть равен cost. Это условие задает область допустимых значений. Можно его не решать сразу, а просто использовать позже.
Поскольку мы определили, что знаменатель не нулевой, можно обе части на него домножить. Затем упростим получившееся выражение.
В большом количестве задач с параметром мы можем использовать только аналитичский подход (преобразование выражений, упрощения и т.д.). Давайте так и сделаем.
Для того, чтобы выразить синус через косинус, достаточно испольовать основное тригонометрическое тождество. Заменим синус в квадрате на единицу минус косинус в квадрате. А затем обе части уравнения возведем в квадрат. Вот что получится.
Для того, чтобы существовали решения этого уравнения достаточно, чтобы дискриминант был положительным. Давайте проверим:
Нужно ли проверять полученное выражение косинуса для того, чтобы убедиться, чтобы оно находилось в промежутке от нуля до единицы? На самом деле не обязательно. Достаточно знать, что, во-первых, решение есть, а во-вторых посмотреть на то, каким будет коэффициент k в указанном промежутке для значений t. Вот что получим:
Получается, что на указанном промежутке коэффициент будет однозначно определяться указанной дробью, будет являться положительным и непрерывно расти. Чтобы понять, каким он может быть, достаточто рассчитать его минимальное и максимальное значение. Минимум достигается тогда, когда минимален числитель и одновременно максимален знаменатель (а это как раз при t=0). А максимум - когда максимален числитель и минимален знаменатель (это в случае, когда t стремится к пи-пополам):
И это всё?
Почти, но не совсем.
Мы упомянули, что область допустимых значений уравнения имеет один запрет, а именно cost не должен быть равен sint. На промежутке от 0 до пи-пополам косинус и синус равны при одной-четвертой-пи. Следовательно, нужно подставить в уравнение для k эту величину и рассчитать "запрещенное" значение k. Вот что получим:
Ответ совпал с тем, что мы получили в прошлом варианте решения (здесь).
Конечно, если очень хочется проверить значение косинуса, полученное из квадратного уравнения, то можно выяснить, что один из корней как раз находится в требуемых пределах, а другой нам не подходит, так как меньше нуля (при том, что косинус должен быть положительным).
Но, повторимся, это не обязательно, так как коэффициент k однозначно определяется синусом и косинусом при каждом конкретном t в указанном интервале.
- Поделитесь, все ли здесь понятно?
- Что самое сложное в таких заданиях?
- Какие еще варианты решения вы видите? Какие есть комментарии?
На этом пока всё. До встречи в новых статьях!