Как просверлить квадратное отверстие? Практическая геометрия

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сверло, которое сверлит квадратные отверстия ... это противоречит здравому смыслу. Как вращающаяся кромка может вырезать что-либо, кроме круглого отверстия?

Оказывается, такие сверла не только существуют (а также и для пятиугольных, шестиугольных и восьмиугольных отверстий), но и получают свою форму от простой геометрической конструкции, известной как треугольник Рело (в честь Франца Рело, 1829-1905).

Берем равносторонний треугольник, ставим последовательно циркуль в каждую вершину и строим окружности. Получившиеся дуги и составляют треугольник Рело

Треугольник Рело - фигура постоянной ширины. Это значит, что эту фигуру можно полностью поворачивать между двумя параллельными линиями, разделенными расстоянием S (длиной равностороннего треугольника).

Источник: https://img2.freepng.ru/20180723/zqo/kisspng-reuleaux-triangle-curve-of-constant-width-shape-ci-triangle-line-5b5614ef572352.3115506515323681113569.jpg

Как ведет себя треугольник Рело при вращении? Понятно, что его можно целиком заключить в квадрат, хотя и с немного закругленными концами:

Источник:https://www.mikesenese.com/DOIT/wp-content/uploads/2011/10/reuleaux.gif

И здесь налицо проблема: центр тяжести треугольника Рёло не только движется, но и перемещается по какой-то замысловатой центроидной траектории, отличной от окружности.

Точки P, P', P'' определяют положение центра треугольника Рёло при его разных положениях. Вывод формулы построен на последовательном вычислении координат положения центроида при его повороте внутри квадрата, а затем выражении его через угол α:

И здесь действительно видно, что канонического уравнения окружности нет.

Построив указанные выше графики, получим, что они изображают следующую фигуру:

Видно, что она отличается от окружности, по аналогии с тем, как отличается от идеального квадрата площадь, вырезаемая треугольником Рёло в квадрате

Таким образом, центр треугольника Рело не следует по круговой траектории. Как же тогда сверло Рело содержится в квадратном контуре, который оно должно вырезать?

В 1914 году Гарри Уоттс разработал дрель с запатентованным “полностью плавающим патроном”. Сверло для квадратного отверстия представляет собой треугольник Рело, выполненный вогнутым в трех местах, чтобы обеспечить беспрепятственное вырезание углов и удаление стружки (рис. 8):

Для практических нужд такого классического применения треугольника Рёло достаточно, ведь заготовку всегда можно доработать, сравняв закругления. Для математиков же всё не так просто.

В 2009 году Стэн Вагон, Барри Кокс в своей статье "Mechanical Circle-Squaring" описали способы точного вырезания квадрата и даже шестиугольника. Познакомиться с материалом и поиграться с моделями в Wolfram можно по ссылке.

• Спасибо за внимание!
• TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.