Задача 1.
Скорость автомобиля , разгоняющегося с места старта по прямолинейному участку дороги длиной L км с постоянным ускорением а (км/ч²), можно найти по формуле: v²=2La. Определите с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 0,5 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля, приобретаемое им ускорение не менее 10 000 км/ч². Ответ выразить в км/ч.
Решение. Здесь важно понимать, что такое ускорение. Ускорение –это скорость изменения скорости. Т.е., если ускорение 2 м/с², то это значит, что за одну секунду скорость увеличивается на 2 м/с, за две секунды на 4 м/с и т.д. У нас в задаче ускорение 10 000 км/ч². Это значит, что при разгоне с постоянным ускорением скорость за час увеличится на 10 000 км/ч, а за два часа на 20 000 км/ч и т.д. Таким образом, чем больше ускорение, тем больше скорость в конце разгона, чем меньше ускорение, тем меньше скорость в конце разгона. У нас в задаче минимальное ускорение может быть 10 000 км/ч², расстояние задано 0,5 км. Именно минимальное ускорение даст наименьшую скорость в конце разгона. Подставляем заданные нам величины в формулу v²=2La, и находим скорость v:
v²=2•0,5•10 000
v²=10 000,
извлекаем корень и получаем:
v=100 км/ч.
Ответ: 100 км/ч.
Задача 2.
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале от (–9;2). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке от [–5;0].
Решение. Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума. В точках максимума производная равняется нулю и меняет знак с плюса на минус. В точках минимума прозводная тоже равна нулю, но знак меняет уже с минуса на плюс.
Для решения задания нужно выделить отрезок [–5;2], обратить внимание, что там где график производной выше оси Ох –производная положительна, а там где он ниже оси Ох, производная –отрицательна. Значит точка х=–2 является точкой максимума и точкой экстремума.
Ответ: –2.
Задача 3.
На рисунке ниже изображён график функции f(x). Найти среди точек Х1, Х2, Х3, Х4 и Х5 те точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответ нужно записать количество таких точек.
Решение. Производная функции f(x) отрицательна в тех точках, где функция убывает (там, где функция возрастает – производная положительна). Как понять, где функция убывает, а где возрастает. Можно использовать официальное определение, а можно представить следующее. Человечек идёт по графику функции, как по горам, слева направо. Именно слева направо, а не наоборот. Там, где человечек вынужден идти вниз – функция убывает. Там, где человечек вынужден карабкаться вверх – функция возрастает.
Как мы видим, человечек идёт вниз в точках Х1, Х3 и Х4. Значит в этих точках функция f(x) убывает и производная этой функции – отрицательна. Таких точек три. Это значит – ответ: 3.
