Маленький камень бросили горизонтально с башни со скоростью V0 = 30 м/с. Каков будет радиус кривизны траектории камня через 4 секунды полета?
И так, начнем. Схематично полет можно изобразить так:
Синяя линия - траектория полета камня. А точка на этой траектории, на которую указывает стрелка радиуса, это и есть положение, в котором камень окажется через 4 секунды полета. Вот и будем определять радиус кривизны траектории. Вообще радиус кривизны - это радиус окружности, дугу которой описывает кривая в данной точке. Но это может быть не только точка, но достаточно большая часть кривой линии. Например:
Вот этот же рисунок. Но в самом верху окружность совпадает с частью траектории. Радиус этой окружности и есть радиус кривизны траектории в том месте.
Далее. Если материальная точка движется по окружности равномерно, то оно движется с постоянной угловой скоростью ω (греч. омега).
Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории. Это значит, что вектор скорости всегда перпендикулярен радиусу. При движении по окружности вектор скорости постоянно меняет направление, оставаясь перпендикулярным радиусу, проведенному из центра окружности к положению материальной точки на окружности. Изменение вектора скорости говорит о присутствии ускорения. Это ускорение центростремительное. Его вектор всегда направлен из положения материальной точки к центру окружности.
Если же происходит такое движение по окружности, при котором модуль скорости V меняется, то говорят о наличии тангенциального (касательного) ускорения. Это ускорение направлено всегда по касательной к окружности, проведенной через место нахождения материальной точки (лежит на одной прямой со скоростью).
Касательное и центростремительное ускорения в сумме дают полное ускорение материальной точки. Ввиду того, что касательное и центростремительное ускорения перпендикулярны друг другу, то модуль полного ускорения можно найти, как
Модуль центростремительного ускорения находится, как
Если тело движется не по окружности, а по кривой линии, то центростремительное ускорение называют нормальным ускорением.
Теперь переходим непосредственно к нашей задаче. Пусть тело оказывается через указанное время полета в некоторой точке траектории:
Ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз. Проведем касательную k к кривой траектории через точку нахождения тела. Теперь восстановим в этой точке перпендикуляр к касательной.
Тело движется по кривой линии, а это значит, что присутствуют и касательное и нормальное ускорения. Единственное ускорение, которое испытывает тело - это ускорение свободного падения. Оно является полным ускорением тела!!! Проекция ускорения свободного падения на касательную даст касательное ускорение. Проекция ускорения свободного падения на радиальную прямую (перпендикуляр к касательной) даст нормальное (центростремительное) ускорение тела.
Нам нужно только нормальное ускорение. Именно оно дает "доступ" к радиусу:
Тогда получается, что если нам известен угол α, указанный на рисунке, то нормальное ускорение мы нашли бы как:
Откуда взять угол? Да сам угол, по сути, и не нужен. Нужно значение косинуса! И теперь мы вспоминаем про скорости.
Скорость вдоль оси x не меняется на протяжении всего движения, т.к. вдоль этой оси нет ускорения. Скорость вдоль оси y меняется благодаря ускорению свободного падения. Ее не трудно посчитать. Эти две скорости, векторно суммируясь, дают просто скорость тела в данной точке траектории. Но мы говорили уже о том, что вектор скорости касателен к траектории.
Посмотрите, между вектором полной скорости и вектором скорости вдоль оси x тоже угол α. Тогда получается, что
Осталось найти Vx:
Оказывается, осталось еще найти и Vy. Тело начинает движение горизонтально. Значит начальная скорость вдоль вертикальной оси y отсутствует. Следовательно:
Отрицательный знак здесь указывает, что ускорение свободного падения направлено против оси y. Тогда получаем:
Подставляем, считаем:
Ответ: R = 416,7 м.
