Меры нечёткости нечётких множеств

В видео можно познакомиться с материалом текущей лекции, посвящённой такой характеристике нечёткого множества как мера нечёткости (степень нечёткости или мера размытости) нечёткого множества.

Для определения меры нечёткости нечёткого множества введём понятие множества, ближайшего к нечёткому множеству. Такое множество представляет собой чёткое множество, состоящее из упорядоченных пар, где первая координата представляет собой элемент из универсального множества, а вторая координата - значение характеристической функции, которая задаётся как показано на картинке:

Определение множества, ближайшего к нечёткому множеству.

Мерой нечёткости (степенью нечёткости или мерой размытости) нечёткого множества является расстояние между нечётким множеством и обычным множеством, но ближайшим к нечёткому. Это расстояние обозначается как d(A), которое можно определить по следующим формулам:

Перечень расчётных формул для меры нечёткости нечёткого множества.

Определение Линейного расстояния (расстояния Хэмминга)

Ещё несколько вариантов для расчёта меры нечёткости

Разберём на примере, как рассчитать меры нечёткости.

Для этого зададим следующие три нечёткие множества:

Примеры нечётких множеств

Определим для начала ближайшие чёткие множества к каждому из вышеперечисленных нечётких множеств:

Множества, ближайшие к нечётким множествам, приведённым ранее.

Затем рассчитаем ранее определённые меры нечёткости.

Используя формулу, найдем расстояние Хэмминга для трех нечётких множеств A, B и C, и, после вычислений, получим следующие результаты:

Пример расчёта линейного расстояния (расстояния Хэмминга)

Пример расчёта евклидова расстояния (квадратичного расстояния)

Упражнение. Предлагается самостоятельно рассчитать значения относительного расстояния Хэмминга и относительного расстояния Евклида.

Также Полезно рассмотреть примеры ближайших множеств для нечётких множеств, задаваемых наиболее распространёнными типами функций принадлежности (можно также познакомиться с видеолекцией):

Треугольная функция принадлежности

Ближайшее множество к треугольному нечёткому множеству

Рассчитав Линейное (расстояние Хэмминга) расстояние, можно получить значение, равное 1,3(3), а по расчётной формуле, называемой Евклидовым расстоянием (квадратичным расстоянием), получаем значение, равное 0,6(6). Убедитесь в этом самостоятельно.

Упражнение. Также самостоятельно рассчитайте значения относительного расстояния Хэмминга и относительного расстояния Евклида для нечёткого множества, заданного треугольной функцией принадлежности.

Трапециевидная функция принадлежности

Z-образная функция принадлежности

Линейная Z-образная функция принадлежности

S-образная функция принадлежности

Линейная S-образная функция принадлежности

П-образная функция принадлежности

П-образная функция принадлежности

Упражнение 1.

Рассчитайте Линейное расстояние (расстояние Хэмминга), Евклидово расстояние (квадратичное расстояние), относительное расстояние Хэмминга и относительное расстояние Евклида для нечётких множеств, заданных перечислением элементов (по вариантам):

Варианты для самостоятельного нахождения мер нечеткости нечетких множеств с 1 по 15ый

Варианты для самостоятельного нахождения мер нечеткости нечетких множеств с 16-ого по 30ый

Упражнение 2.

Рассчитайте Линейное расстояние (расстояние Хэмминга), Евклидово расстояние (квадратичное расстояние), относительное расстояние Хэмминга и относительное расстояние Евклида для нечётких множеств, заданных трапециевидной, линейной Z-образной и линейной S-образной функциями принадлежности.