Недавно вернулся из Казани, где неоднократно проходил улицу Лобачевского. Естественно задумался о геометриях и почему все настолько простое настолько сложно. Вот например прямая, все знают что такое прямая, многие даже график построить могут. Многие даже узнают уравнение прямой с первого взгляда. Однако дать определение прямой задачка не тривиальная.
Этим фактом когда-то воспользовались Лобачевский и Риман и создали целые геометрии с кривыми прямыми. В смысле любой нормальный человек сразу поймет что у Лобачевского прямой названа гипербола, а у Римана участок окружности и... и не сможет доказать что это не прямые.
Все по тому что чтобы определить что такое прямая нужно определить что такое прямая. Такое определение называется тавтологичным и не может считаться определением.
Например возьмем самое банальное определение прямая: это не кривая. Первая ошибка определения это отрицание. В соответствии с наукой о классификации - таксономией отрицание использовать нельзя, потому что оно всегда дает простор для разночтений. Например если мы скажем что ель это не сосна то елью окажется и дуб, и береза и человек и сталь. Здесь же под определение прямой подпадет например ломаная. Она удивительным образом так же не кривая. Вся состоит из участков нулевой кривизны соединенных в точках бесконечной кривизны. То есть кривизна ломаной всегда неопределима. Однако ломаная не прямая и это очевидно. Более того мы и кривую не сможем определить без определения прямой и это вторая причина по которой это определение не определение. Ужас.
Или вот начнем умничать и заметим что одной из проекций прямой всегда является точка. То есть прямая это линия одной из проекций является точка, а остальные... прямой. Тавтология уже на лицо. Более того иногда мы будем принимать прямую за точку, например вращая прямую вокруг самой себя мы внезапно выясним что в объеме проекция не одна, а бесконечно много проекций прямой является точкой и прямая от точки неотличима(на этом целую теорию струн построили). Самое худшее что проекция происходит вдоль прямой и чтобы определить прямую нужно определить прямую. Опять все плохо.
Наконец мы как взрослые люди применим математический анализ и выясним что прямая имеет бесконечное число значений вдоль как минимум одной из осей координат и вторую производную равную нулю. И все бы хорошо если бы оси координат не были прямыми и приращение не вычислялось по прямой. Опять приходим к выводу что чтобы определить прямую нужно определить прямую.
Получается определить прямую невозможно? Евклид считал что да. Лобачевский и Риман с ним согласились и использовали это согласие в своих интересах.
Вот простой пример. На первый взгляд это 3 параллельные прямые. Более того я точно могу сказать что три эти линии не пересекаются. Ведь я же их строил. Но попробуйте догадаться есть ли среди них не прямые, и какие именно линии не прямые, даю подсказку их две. Даже могу дать вторую подсказку на графике участок прямой, участок окружности и участок гиперболы. Ладно, еще подсказка, возьмем участки в 10 раз большие.
Уже догадались? Или стало только хуже? Ладно, открою секрет слева гипербола, справа окружность, а вот посередине прямая. Но у окружности радиус в 50000 раз больше кратчайшего расстояния от прямой до окружности, а гипербола асимптотически приближается к этому расстоянию. Не зная всей картины можно легко ошибиться. А как исправить ошибку читайте у Лобачевского и Римана. :) Мы здесь не об этом, а о прямой.
И так мы выяснили что чтобы определить что такое прямая всегда приходится определить что такое прямая. Значит ли это что понятие прямая неопределимо? Да кричат сейчас математики, и только программисты молчат и крутят в голове одно слово: рекурсия.
Если без определения что такое прямая невозможно определить что такое прямая необходимо создать такой промежуточный шаг в определении который даст возможность если не однозначно определить прямую то хотя-бы максимально приблизится к определению прямой.
И так прямая это линия. Это абсолютно точно линия и с этим не поспоришь поскольку линия не всегда начерчена, иногда вдоль неё что-то движется и тогда эта линия - траектория, но тоже линия. Причем линия бесконечно длинная, поскольку ограниченная с одной стороны прямая это уже луч, а с двух сторон это отрезок прямой.
Начнем с плоских рассуждений и выразим через прямую окружность. Окружность это такая линия на плоскости которая равноудалена от точки лежащей на той же плоскости. Вот удаление от точки - некоей пространственной координаты, и будет исчисляться по прямой. По той самой прямой что мы определяем. Эту прямую мы будем вращать в плоскости вокруг точки и независимо от того насколько наша "прямая" не прямая получим окружность, поскольку расстояние будет одинаковым.
Уже интересно но нужно определить что такое плоскость. И как нам сделать это без прямой? Правильно никак. Определим сферу: Поверхность все точки которой удалены от одной точки называемой центром на равное расстояние.
Теперь определим понятие точки касания. Точка касания это такая точка которая является общей для двух линий или поверхностей при условии что не существует двух таких точек на этих линиях или поверхностях которые бы лежали по разные стороны линий на плоскости или поверхностей.
Так вот плоскость это поверхность на которой не существует таких точек в которых сфера любого исчислимого радиуса касалась бы данной поверхности одновременно более чем в одной точке. И понятно что плоскость у нас так же бесконечна. Сфера определяется через прямую как расстояние являющееся отрезком прямой, однако явно отличается. И явно останется сферой насколько бы кривой не была прямая.
Теперь у нас есть плоскость сфера, точка касания и окружность... правда похоже без окружности мы бы обошлись.
И так прямая это линия для которой не существует сферы исчислимого радиуса касающейся данной линии лежащей на касающейся данной сферы плоскости более чем в одной точке.
Вот такое у меня получилось рекурсивное определение. Не нравится? Предлагайте свое :)
