Задача
Практическая работа на тему: Действия над векторами в координатной форме
Решение
Чтобы найти координаты точек A, B и C, мы можем воспользоваться тем фактом, что вектор можно представить как разность двух точек в пространстве. Предположим, что точка A расположена в начале координат (0, 0). Тогда имеем:
вектор a = (-2, -2)
вектор b = (1, 3)
Чтобы найти координаты точки B, мы можем добавить вектор a к началу координат:
точка B = точка A + вектор a = (0, 0) + (-2, -2) = (-2, -2).
Чтобы найти координаты точки C, добавим вектор b к точке B:
точка C = точка B + вектор b = (-2, -2) + (1, 3) = (-1, 1)
Таким образом, координаты точек A, B и C таковы:
точка A = (0, 0)
точка B = (-2, -2)
точка C = (-1, 1)
Модуль (величина или длина) вектора определяется квадратным корнем из суммы квадратов его координат. Модуль вектора a равен:
|a| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2) = sqrt(8).
Модуль вектора b имеет вид:
|b| = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(10).
Таким образом, модули векторов a и b равны sqrt(8) и sqrt(10), соответственно.
Скалярное произведение (также известное как точечное произведение) двух векторов - это сумма произведений их соответствующих координат. Скалярное произведение векторов a и b имеет вид:
a - b = (-2)(1) + (-2)(3) = -8.
Следовательно, скалярное произведение векторов a и b равно -8.
Косинус угла phi между двумя векторами можно найти по формуле:
cos(phi) = (a - b) / (|a| * |b|).
Мы уже нашли скалярное произведение и модули векторов a и b в частях (2) и (3), поэтому можем подставить их в формулу:
cos(phi) = (-8) / (sqrt(8) * sqrt(10)) = -4 / sqrt(20).
Чтобы упростить этот результат, мы можем умножить числитель и знаменатель на sqrt(5):
cos(phi) = (-4 / sqrt(20)) * (sqrt(5) / sqrt(5)) = -2sqrt(5) / 5
Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -2sqrt(5) / 5. Обратите внимание, что для нахождения фактического угла необходимо использовать обратную функцию косинуса (cos^-1) и преобразовать результат из радианов в градусы.