Введение:
Логика, — как эпистемологический инструмент, — изобретена независимо в трёх отдельных государствах: Греции (Аристотелем), Китае (императором Цинь Шихуанди) и Индии. В последних двух государствах, логика не развилась настолько, чтобы «прижиться» и получить развитие, в Греции же наоборот, логика сформировалась столь определённо, что дополнилась только через 2 тысячелетия.
Значительные изменения в греческую логику, помимо Дж. Буля, О. де Моргана, Б. Рассела, внёс Готлоб Фреге — придумал 2 вида кванторов, а также Курт Гёдель — открыл знаменитые две теоремы о неполноте, которые означают о невозможности объединения множества доказуемых утверждений со множеством истинных — доказательства математики зависят от начальных предположений, а не фундаментальной истины, из которой происходят ответы. Ни один набор аксиом не способен доказать свою непротиворечивость.
Некоторые, заметят влияние платонизма на австрийского логика: это на самом деле так, Гёдель не раз заявлял о влиянии Метафизики Платона на собственную деятельность. Развитию же формальной логики Платон способствовал косвенно, в истории он вносит вклад в развитие другого направления — философской логики. Платоном созданы вопросы, на которых основывается вся западная философия вплоть до наших дней. Философия в том виде, котором она известна, возникла только благодаря Платону.
В другие периоды, логика также придавалась дополнениям: античной школой стоицизма выведены «модальность», «материальная импликация», «оценка смысла и истины», которые являются задатками логики высказываний; средневековыми схоластами введены несколько понятий; Готфридом Лейбницем изменена нотация. Главное, что сами логические операции не изменились. «Органон» Аристотеля, — как сборник из 6 книг, — первоисточник, где написаны главные логические законы. «Органон» (с древнегреческого ὄργανον), означает — инструмент. Аристотель считал, что логика — инструмент к познанию, который объединяет методом получения информации науки:
- Физика — наука о природе.
- Метафизика — наука о природе природы.
- Биология — раздел физики, наука о жизни.
- Психология — раздел физики, наука о душе.
- Кинематика — раздел физики, наука о движении.
- И др.
Терминология:
У каждой из наук, должен быть идентичный фундамент в способе получения гнозисов (знаний), который позволит упорядочить информацию и выводить новые умозаключения. Только таким образом, получится прогресс познания истины. Без логики, наука будет похожа на коллекционирование фактов, т.к. информация бы не поддавалась анализу.
Сам Аристотель, находит логике, — как средству убеждения, — иное применение: в риторике, спорах, дебатах, выступлениях и т.д., описывая это в труде «Риторика». В западной философии, принято давать чёткие определения перед рассуждениями, поэтому определимся с терминами: Логика — наука о правильном мышлении.
- В языковой зависимости, возникают трудности понимания слова «наука», но даже в оригинальном названии труда Фридриха Гегеля «Наука логики» — «Wissenschaft der Logik», употребляется слово «наука» — Wissenschaft. Поэтому прибегаем к консенсусу, что научной можно назвать ту дисциплину, где возможны открытия, исследование и анализ. Логика в таком случае — наука, ибо внутри неё возможно совершать открытия, яркий пример: комбинаторика Лейбница.
- Слово «правильный», сразу же веет нормативными коннотациями: правильное поведение, правильное выражение лица, и т.д. Перечисленное соответствует некоторым критериям и логика, выставляет критерии для правильного мышления, а не заимствует извне.
- Слово «мышление», понимается на интуитивном уровне, но чёткое объяснение затруднительно, обширно и иногда не объективно.
Формальная и неформальная логика:
Первоначально, деление логики происходит на формальную и неформальную. Формальная логика отличается тем, что записывается уравнениями, в отличие от неформальной, которая пишется выражениями в форме языка. Поэтому неформальная логика подходит для риторики, а формальная логика для абстрактных наук.
Nota bene: абстрактных наук только две — формальная логика и математика, которые друг к другу не сводятся.
Формальная логика равным образом делится на дедуктивную и индуктивную. Они различаются тем, что в дедуктивном аргументе — истинность условий гарантирует истинность умозаключения или вывода, а в индукции, возможен как ложный вывод, так и истинный вывод при истинности условий. Поэтому, формальная логика — это дедукция.
Законы формальной логики:
- Закон тождества (А = А): эквивокация или двусмысленность недопустимы. Нельзя подменять одно понятие, другим.
- Закон непротиворечия (А ∧ ¬А = 0): одно и то же утверждение не может быть истинным и ложным одновременно.
- Закон исключения третьего или бивалентности (А ∨ ¬А = 1): утверждение может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.
Принципы формальной логики:
- Принцип достаточного обоснования: истинная мысль должна быть обоснованной и считается достоверной только в том случае, если в её пользу приведены достаточные основания.
Сентенциональная логика:
Базовые операции сентенциональной логики — логики высказываний, где заглавная буква означает предложение:
- Отрицание (Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно): если имеем утверждение «А» и имеем утверждение «не А», то, когда утверждение «А» будет истинным, утверждение «не А» будет ложным. Также и когда утверждение «А» будет ложным, утверждение «не А» будет истинным.
- Конъюнкция (Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае): в английском языке — союз «and/&»; в русском — «и». В утверждении «А и В», между «А» с «В» стоит знак конъюнкции — ∧. Утверждение «А и В» является истинным, если «А» с «В» являются истинными одновременно, ибо если хоть одно ложно — то утверждение ложно. «А и В» подразумевает, во-первых — истинность «А»; во-вторых — истинность «В».
- Дизъюнкция (Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение ложно): в английском языке — союз «or»; в русском — «или». Существует два типа дизъюнкции — включающая и исключающая, в логике используется включающее «или». Условия истины такие: утверждение «А или В» будет истинным, когда один или оба элемента истинны, но никогда — когда оба элемента ложны. Это противоречит нашему обыденному мышлению, т.к. когда спрашивают: «Чай или кофе?», мы выбираем один элемент, но в логике подразумевается выбор не только одного, а нескольких возможных.
- Импликация (Утверждение A ⇒ B ложно, только когда A истинно, а B ложно): в английском языке — «hence»; в русском языке — «следовательно». Подразумевает истинность одного элемента, при истинности другого, потому что условия истинности соблюдаются всегда, кроме случая, когда «А» истинно, а «B» ложно. Поэтому утверждение: «А» ложно, следовательно «B» ложно — истинно. Покажется, что в случае, когда «А» ложно, а «В» истинно, не соблюдаются условия, но это не так: если скажете, что после дождя намокните, это утверждение будет истинным вне зависимости от того, пошёл дождь или нет.
- Эквивалентность (Утверждение A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны): если истинно утверждение «А, следовательно В» и истинно утверждение «В, следовательно А», то истинными являются выражения: «А эквивалентно В» и соответственно «В эквивалентно А». Условия истинности соблюдаются в случаях, когда оба элемента истинны, либо оба ложны.
Предикатная логика:
В 20 веке, после изменения нотации, добавлений Готфрида Лейбница и Готлоба Фреге, на основе логики создаётся новая дисциплина — информатика, а языки программирования основываются на видоизменённой логике Аристотеля — предикатной логике. Прежде чем разобрать этот вид логики, поговорим об её отличии от сентенциональной: в предикатной логике, заглавными буквами обозначаются предикаты, а не высказывания, как в логике высказываний.
Высказывание: «Я пошёл в зоопарк» — состоит из субъекта и предиката, где субъект, это — «Я», а предикат — то, что остаётся кроме субъекта, т.е. «... пошёл в зоопарк». Субъект — тот, кто совершает действие в предложении или имеет выраженное свойство; предикат — оставшееся. Таким образом, если в сентенциональной логике высказывание «Я пошёл в зоопарк», выражалось бы одной заглавной буквой, то в логике предикатов использовались бы две буквы (заглавная и подстрочная): «P» — для предиката; «x» — для субъекта). Субъекты обозначаются переменной «x», потому что в предикатной логике появляются две, относительно новые операции: универсальный и экзистенциальный квантор. Особенность кванторов заключается в том, что ими возможно записать выражение истинное при всех возможных переменных «х» или хотя бы при одном.
Универсальный квантор (квантор всеобщности) обозначается символом — «∀» с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение: «Все пингвины чёрно-белые». В логике высказываний, оно бы выражалось как «X ⇒ P (X, следовательно P)», где X — нечто, являющееся пингвином, а P — нечто, являющееся чёрно-белым. В предикатной логике же используются субъекты и предикаты, поэтому нечто являющееся пингвином (субъект) обозначалось бы переменной «х» снизу, под предикатом. «"х" — является пингвином, следовательно, "х" — является чёрно-белым», записывается так: P(х) ⇒ B(х), где P(х): х — пингвин; B(х): x — чёрно-белый.
Однако, этого недостаточно, потому что непонятно, один субъект «х» чёрно-белый или больше одного, может все соответствуют критерию чёрно-белого цвета. Поэтому, утверждение «"х" — является пингвином, следовательно, "х" — является чёрно-белым», берётся в скобки и перед скобками используется символ «∀» с переменной «х» под ним — которые и будут универсальным квантором. Универсальный квантор переводится как: «Для всех "х" истинно, что ...», теперь утверждение «х — является пингвином, следовательно, х — является чёрно-белым» с универсальным квантором перед ним, расшифровывается так: «Для всех "х" истинно, что "х" — является пингвином, следовательно, "х" — является чёрно-белым». Это означает, что чем бы ни был объект во вселенной, если этот объект пингвин — он является чёрно-белым. Полная запись будет выглядеть так: ∀(x) (P(х) ⇒ B(х))
Экзистенциальный квантор (квантор существования) обозначается символом — «∃» с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение: «Некоторые пингвины серые». Как и в прошлый раз, выражение «"x" — является пингвином и "х" — является серым» возносим в скобки и ставим перед ними квантор, в этом случае экзистенциальный, с указанной переменной. «"x" — является пингвином и "х" — является серым, записывается так: P(х) ∧ C(х), где P(х): х — пингвин; C(х): x — серый.
Экзистенциальный квантор переводится как «Есть такой "х", для которого будет истинно, что ...». Подразумевается, что есть как минимум один «х», для которого выполняются условия выражения. Если вам говорят, что картофеля не существует, достаточно показать одну картофелину, чтобы опровергнуть это утверждение. Также с кванторами, если существует хотя бы один серый пингвин, то утверждение об отсутствии серых пингвинов, будет ложно. Полная запись экзистенциального квантора для выражения «Есть такой "х", для которого будет истинно, что "x" — является пингвином и "х" — является серым», будет выглядеть так: ∃(x) (P(х) ∧ C(х))
Примечательно, что есть возможность перевода одного вида квантора в другой. Возьмём утверждение: «Все пингвины не являются серыми». Для универсального квантора, текстовая запись будет такая: «Для всех "х", будет истинным утверждение о том, что если "х" — является пингвином, то "х" — не является серым объектом». Но утверждение изменяется и для экзистенциального квантора, используя знак отрицания: «Нет такого "х", для которого бы было истинным утверждение о том, что "x"— является пингвином и "х"— является серым».
В середине XIX века, Готлоб Фреге дополнил логику Аристотеля двумя этими операциями, которые позже сформировались в отдельную дисциплину — предикатную логику. С введением в логику экзистенциального квантора, — после универсального, — предикатная логика завершилась как система.
Автор: Ларин О.В.
Источники:
- Аристотель: «Органон» — "Первая аналитика" и "Вторая аналитика"
- Аристотель: «Риторика»
- Готлоб Фреге: «Исчисление понятий»
- «Monatshefte für Mathematik und Physik» 1931 г.: Курт Гёдель «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах»
- The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz
- Мельников Сергей: «Введение в философию Аристотеля»
- Wikipedia
