Странный оксюморон в названии заметки, не так ли? Хотя математикам не привыкать панибратски обращаться с бесконечностями, производить над ними арифметические операции, расставлять по ранжиру, но грань бесконечного… Тем не менее, всегда ли просто определить, конечно множество или бесконечно? Не спешите с ответом.
Смоделируем ситуацию. Возьмем бесконечный ряд случайных чисел. Для более легкого восприятия пусть это будут однозначные двоичные числа, то есть, бесконечный ряд нулей и единиц в случайном порядке. Если кому-то необходимо «заземлить» свое воображение, считайте это записью бесконечного ряда экспериментов по подбрасыванию монетки. Решка – 0, орел – 1.
Ряд случайный, так что, понятное дело, нули и единицы не будут чередоваться в строгом порядке 0101010101… Будут встречаться и два нуля подряд, и три, и десять… А будут ли встречаться серии из миллиона нулей? Из миллиарда?
Ответ: разумеется, будут. Выражаясь поэтическим языком, перед лицом бесконечности между двойкой и миллиардом нет никакой разницы. Так что вопрос был вводный, можно сказать, риторический. Но из него логично следует новый вопрос. Какова будет наибольшая продолжительность серии из нулей? И снова ответ приходит сам собой: какое-то определенное число назвать нельзя. Ибо любое, сколь угодно большое число… столь же ничтожно в сравнении с бесконечностью, как два, три или миллиард.
Напрашивается логичный вывод: внутри рассматриваемого нами бесконечного ряда будут встречаться бесконечные ряды из нулей. (И единиц тоже, естественно, не упомянуть о единицах было бы непростительной дискриминацией.)
Вроде бы, все понятно и логично, вопрос исчерпан… Однако есть одно «но». Перед началом такого бесконечного ряда нулей стоит единица и после ряда тоже – ведь рано или поздно серия прервется, монетка упадет орлом. Наш бесконечный ряд ограничен с обеих сторон. Возможно ли такое?
В принципе, в ограниченности с обеих сторон бесконечного ряда чисел нет ничего невозможного. Например, на интервале [0; 1] содержится бесконечное число вещественных чисел. Но то вещественных, а у нас разговор идет о целых. И тут уже двух мнений быть не может: если ряд последовательных целых чисел ограничен сверху и снизу, их число конечно. Скажем, если первый ноль в нашем ряду идет на n-ном месте, а последний – на m-ном, то мощность такого множества будет равна m – n + 1, а вовсе не ℵ0, что соответствует счетному множеству. Сколь бы крупным числом ни было m – n + 1, множество с такой мощностью все равно будет конечным.
Для тех, кто с теорией множеств не знаком вовсе, коротко поясню, что мощность обобщает понятие количества элементов для бесконечных множеств. Среди них наименьшей мощностью обладает счетное, то есть множество, равномощное множеству натуральных чисел. Но даже это, наименее мощное бесконечное множество мощнее, например, множества частиц в видимой части Вселенной, количество которых учеными оценивается восьмидесятизначным (!) числом.
Что же получается с нашей серией нулей? Множество, которое не может быть конечным, не может быть и бесконечным?
Я прошу искушенных читателей проявить снисходительность. Если мои попытки запутать ситуацию показались вам наивными, то так оно, собственно, и есть. Да и цель моя иная, не сбить кого-то с толку, а всего лишь заинтересовать тех, для кого теория множеств есть terra incognita. Им я и адресую поставленный ребром вопрос: так встретится ли в нашем бесконечном ряду из случайных нулей и единиц бесконечная серия нулей?
Справились? Полагаю, что да. Но в любом случае давайте сверим наши рассуждения.
Безусловно, бесконечные серии нулей (и единиц) в нашем ряду встретятся. Более того, их будет бесконечное число. По тем же, означенным выше соображениям их не может быть три, пять или даже всего лишь сто триллионов.
Разберемся с нашими аргументами против бесконечности. Да, начало у нашей серии будет. Но это бесконечности не помеха, начало есть и у множества натуральных чисел. Так что с нашим выбранным n все в полном порядке. А вот с m… извините, а кто вам сказал, что будет какое-то m? Я сказал? Ну, знаете, не всегда автору нужно верить на слово. Ни Паскаль, ни Ферма, ни Лобачевский не стали бы теми, кем стали, верь они безоговорочно всему написанному.
Так что никакого окончания бесконечной серии нет и быть не может. Просто по определению. А как же быть с нашим «основным» рядом из нулей и единиц? Как же он будет продолжаться дальше? Как включит в себя бесконечную серию нулей? Если вы пытаетесь сейчас представить себе это визуально, пожалуйста, пощадите свою голову! Если вам будет от этого легче, могу сказать, что я себе этого тоже представить не могу. Бесконечность и наглядное представление вообще неважно сочетаются между собой.
Нужно просто уяснить, что любое бесконечное множество не только может, но и обязано включать в себя равное ему по мощности подмножество.
Простой пример. Каких чисел больше: четных или натуральных? Казалось бы, ответ очевиден: натуральных больше, причем ровно в два раза, так как натуральные числа и состоят-то из равного количества четных и нечетных. Скажем, в сотне натуральных чисел пятьдесят четных и пятьдесят нечетных, в тысяче их будет ровно по пятьсот, в миллионе – по пятьсот тысяч…
Но в том-то и дело, что с бесконечностью это не работает. И натуральных чисел… ровно столько же, сколько четных. Это легко доказать, достаточно составить биекцию (взаимно-однозначное отношение). Попросту говоря, присвоим каждому четному числу порядковый номер. Двойка получит у нас номер 1, четверка – 2, шестерка – 3 и так далее. Таким образом, каждому четному числу будет поставлено в соответствие ровно одно натуральное число. И наоборот. (Нет, четные числа не закончатся раньше, честное слово.) Итак, несмотря на то, что множество четных чисел является подмножеством множества натуральных чисел, их мощности одинаковы. Более того, само множество натуральных чисел суть подмножество множества целых чисел, но и они равномощны!
А вот рассмотренное нами выше множество вещественных чисел на интервале [0; 1] мощнее, чем счетное! То есть, вообще говоря, содержит большее число элементов, как бы ни условно звучало это понятие для бесконечных множеств.
Но… пожалуй, на этом стоит остановиться, иначе тесны станут рамки не только этой заметки, но и всего канала. Мы всего лишь остановились на одном забавном эпизоде из жизни бесконечностей. Если кому-то из читателей тема показалась любопытной, попробуйте самостоятельно сравнить (доказательно, разумеется!) мощности множеств рациональных и натуральных чисел. Кто знает, быть может, тема вас так увлечет, что это станет первым шагом на пути к названной вашим именем теореме теории множеств…
