Планета Саракш, придуманная братьями Стругацкими. Из-за сильнейшей атмосферной рефракции поверхность планеты выглядит вогнутой, горизонт загибается кверху.
По этой причине местные жители считают, что живут на внутренней поверхности огромного пузыря в бесконечной тверди, заполняющей остальную Вселенную.
Разумеется, они заблуждаются. Если не считать этого странного свойства атмосферы, планета как планета, вроде Земли. Но… Давайте представим, что аборигены правы. Представим себе такую Вселенную. Бесконечная твердь и пузырь внутри. Будем считать, что он размером с нашу Землю. За исключением него все вещество Вселенной будем считать однородным по плотности. Сам пузырь наречем Массарракшем, ладно? Дабы не путать с реально существующей (в рамках мира, придуманного Стругацкими) планетой Саракш.
Прежде всего, возможно, это кого-то удивит, но сила тяжести на поверхности Массаракша будет вполне земной. Если выражаться точнее, такой же, как на поверхности обычной планеты того же размера, «сделанной» из того же однородного материала. Хотите доказательств? Пожалуйста. Возьмем тройной интеграл по…
Стойте! Не спешите закрывать страницу! Я пошутил. Не нужно интегралов, вообще не нужно формул. Я даже без рисунка постараюсь обойтись. Всего лишь немного воображения. Постарайтесь его напрячь.
Возьмем произвольную точку на поверхности Массаракша. Мысленно заполним пузырь тем же материалом, из которого состоит твердая Вселенная. Понятно, что точка под действием сил притяжения Вселенной будет находиться в равновесии. А куда ей деваться-то? Впереди бесконечная твердь и сзади бесконечная твердь. И сверху, и снизу. Справа, слева, в общем – со всех сторон.
Выходит, сила притяжения твердой Вселенной с пузырем внутри уравновешивается силой притяжения мысленно добавленного нами твердого шара. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.
Получилось понять без рисунка? Если нет, ну, нарисуйте себе окружность, точку на ней и две стрелочки. Одну к центру окружности, вторую – в обратную сторону. Одна стрелочка действительная, вторая – результат нашего мысленного эксперимента.
Так что смело примем ускорение свободного падения на поверхности Массаракша равным g. Тем самым привычным и родным g, что примерно равно 9,81 м/с2.
Это на поверхности. А над? Поднимем нашу материальную точку на высоту ну, скажем, h. Вот тут я вам даже ничего подсказывать не буду. Вполне можете самостоятельно определить, что сила притяжения будет такой же, как при погружении точки на глубину h в обычной планете. (Не забываем, что планету мы считаем сделанной из однородного материала.) Просто применяем тот же прием. А, черт, подсказал все-таки!..
Сила эта в свою очередь равна притяжению того шара, что находится под точкой, то есть, действие внешнего слоя как бы отбрасывается. Это доказано до нас, изобретать велосипед не будем.
Ладно, хоть один рисунок должен быть. Вот, точку М погрузили в однородный шар радиусом R на глубину h. На нее действует притяжение красного шара, действие зеленой части уравновешивает само себя.
В формулу закона всемирного тяготения входит масса (в числителе) и квадрат расстояния до центра (в знаменателе). А сама масса пропорциональна кубу этого радиуса. Значит, ускорение свободного падения на глубине h внутри однородного шара и, что интересно для нас, на высоте h над поверхностью Массаракша,
Я достаточное число раз повторил слово «однородный»? Или все равно найдутся умники, которые отыщут экспериментальные данные с глубин нашей планеты и обнаружат несоответствие формуле? Плотность Земли меняется по глубине. А вот плотность твердой Вселенной Массаракша – нет.
Еще мимоходом отметим, что на любой обычной планете ускорение свободного падения также уменьшается с высотой, но по другому закону. По какому? Сами, сами, сколько можно… Там все совсем просто. И вообще речь не об этом.
Это была увертюра. Перейдем к (надеюсь) самому интересному. Встанем на поверхность Массаракша и с приличной скоростью швырнем вверх нашу материальную точку. Ей не привыкать, где ее только не швыряли…
Почему важно уточнить значительность скорости? Дело в том, что если скорость невысока, то и точка наша высоко не поднимется. И изменение ускорения будет столь ничтожным, что его можно просто не учитывать. Считаем g постоянным и смело применяем те же формулы, что записаны в учебнике физики за седьмой, по-моему, класс. Тут уж что Земля, что Массаракш, никакой разницы.
А вот когда скорость такая, что высота подъема не отличается от радиуса планеты на несколько порядков…
Формулы долго ждали своего часа, и вот он пробил. Методичность и еще раз методичность. Совместим начало координат с местом броска (или выстрела), направим ось x вертикально вверх, обозначим начальную скорость через (кто бы мог подумать) v0.
С некоторым сожалением пренебрежем до поры до времени сопротивлением воздуха и рассмотрим нашу точку в произвольный момент времени. Так как ускорение свободного падения и ось x противонаправлены, ускорение
Вспоминаем, что ускорение есть вторая производная по времени и составляем простенькое дифференциальное уравнение:
которое, естественно, логично записать в виде
Его решение, с учетом начальных условий:
Ну и что нам делать с этой красотой? Ну, не знаю… Можно так полюбоваться, можно графики интересные нарисовать. Но я предлагаю подумать о том, что Массаракш предлагает уникальную возможность пульнуть в антиподов прямой наводкой! Ведь если начальная скорость будет настолько велика, что снаряд… то есть, материальная точка, конечно, перелетит через центр пузыря, она, ускоряясь все сильнее, полетит дальше и достигнет диаметрально противоположного участка поверхности.
Удобно посылки, например, отправлять. По прямой ведь!
Приравняем скорость к нулю, а x – к R. Кстати, если в центре пузыря скорость будет ровно нулевой, теоретически точка застынет в неподвижности. Но так как равновесие это неустойчивое, малейшего толчка достаточно, чтобы точка полетела к поверхности. В направлении этого толчка. Но для достижения нашей цели достаточно, чтобы в центре пузыря скорость оставалась хоть сколько-нибудь положительной.
Но довольно отвлекаться. Составим систему уравнений:
Желающим решить ее самостоятельно могу дать маленькую подсказку: наверное, самый простой и быстрый способ - это умножить обе
А решение выглядит так:
Время – это замечательно! Удвоив его, мы сможем определить, когда наша посылочка найдет адресата. Для пузыря размером с нашу Землю меньше пятнадцати минут! Вот это оперативность!
А теперь скорость. Те, кто что-то помнит со школьных уроков физики, увидит там не что иное, как удвоенную первую космическую скорость. Для обычной планеты, конечно. На поверхности Земли первая космическая скорость равна примерно 7,9 км/с.
На Массаракше, стало быть, нам придется стрельнуть посылкой с начальной скоростью 15,8 км/с или быстрее. Эх, жаль, что такие пушки могут водиться только в романах Жюля Верна. В реальной жизни их не бывает.
Да, кстати, падать на поверхность посылка будет не медленнее.
И это мы еще сопротивление воздуха не учитывали. А если учесть (что просто необходимо на таких скоростях), то, во-первых, цифры будут еще значительнее, а во-вторых, расчеты усложнятся. Об этом в другой раз.
