В этом году многим участникам экзамена выставили 0 баллов за решение неравенства в задании 15. К сожалению, некоторые школьники, учителя и репетиторы до сих пор не понимают, за что снижены баллы в таких работах.
В группах в контакте я просмотрел около 100 решений задания 15, за которые эксперты выставили 0 баллов. Больше половины из этих работ содержат одну и ту же ошибку - наличие знака на числовой прямой над множеством, где левая часть неравенства теряет смысл.
Кстати, из этих просмотренных мною 100 работ только 2 (по моему мнению) были оценены экспертами неверно. И, кстати, обе работы после апелляции были оценены в 2 балла, хотя первоначальная оценка была 0 баллов. Об этом я снял видео на своём канале.
В этой статье я расскажу о самой типичной ошибке этого года в задании 15 и о том, как следует использовать метод интервалов чтобы получить максимальный балл за решение неравенства.
Алгоритм метода интервалов
Основная причина ошибок в том, что школьники не знают алгоритм действий в методе интервалов. Поэтому рекомендую сначала ознакомиться с описанием этого метода в разных источниках:
Обратите внимание, что во всех источниках авторы отмечают, что знаки надо ставить только над теми промежутками, где левая часть неравенства определена. Кстати, вот как выглядят пособия, в которых хорошо и понятно (по моему мнению) описан алгоритм метода интервалов:
Примеры работ с ошибками
Теперь давайте рассмотрим 3 работы, которые были оценены в 0 баллов из-за наличия знака в области, где левая часть неравенства теряет смысл (то есть не определена). Красным прямоугольником я выделил левую часть неравенства, а стрелочкой показал знак, который стоит над областью, где левая часть теряет смысл:
Наличие знака в области, где выражение (для которого изображена ось) теряет смысл является основанием для оценивания работы в 0 баллов. Кстати, если вам интересно, за какие ещё ошибки снижали баллы в задании в этом году, я рекомендую посмотреть вот этот плейлист с разборами ошибок.
Примеры работ, оценённых максимальным количеством баллов
Ниже представлены работы, оценённые в 2 балла из 2. Обратите внимание, что в этих работах нет знаков над промежутками, где выражение( стоящее в левой части неравенства) теряет смысл:
Кстати, последняя работа была оценена экспертами сначала в 0 баллов. Но на апелляции, при повторной проверке, работа была оценена в 2 балла. Про эту работу у меня есть видео на канале.
Отмечу, что в некоторых работах, оценённых максимальным баллом, знаки расположены над всеми промежутками числовой прямой. Но числовая ось в таких работах изображена для выражения, ОДЗ которого - это все числа (то есть всё множество действительных чисел - множество R). Вот эти работы:
В первых двух работах был совершён переход к неравенству-следствию, из-за чего ОДЗ итогового неравенства оказалась шире, чем ОДЗ исходного неравенства. Такой переход опасен появлением посторонних корней (то есть чисел, которые являются корнями каких-то промежуточных неравенств, но не являются корнями исходного неравенства).
Избавиться от посторонних корней в данном случае можно с помощью ОДЗ исходного неравенства, что и было сделано в первых двух работах. В последней работе неравенство было решено методом равносильных переходов.
Во всех трёх работах перед тем, как чертить ось, авторы избавились от логарифмов, поэтому над осями можно было смело ставить знаки (так как левая часть итоговых неравенств в этом случае не теряла своего смысла на всей числовой прямой).
Выводы
Задание 15 профильного ЕГЭ по математике требует твёрдых знаний по теме "Решение неравенств". В частности, надо знать:
- как пользоваться методом интервалов
- знать, что такое ОДЗ и как его искать
- как решать логарифмические неравенства с помощью перехода к неравенству-следствию
- как решать неравенства методом равносильных переходов.
Информацию об этом следует брать из хороших источников - из учебников, пособий по подготовке к ЕГЭ, зарекомендовавших себя задачников. В этой статье я использовал материалы из трёх источников (можно их найти выше), в которых, по моему мнению, лучше всего описан алгоритм метода интервалов и хорошо освещены другие вопросы.
Лучшая рекомендация, которую можно дать, тем, кто готовится к ЕГЭ и тем, кто готовит к ЕГЭ - подробно изучить алгоритм метода интервалов и не допускать ошибок, которые в большом количестве были допущены экзаменующимися в этом году на экзамене.