3338 подписчиков

Интересная задачка про бином Ньютона

14 июля 202014 июл 2020

179

1 мин

полное решение ниже

Сумма биномиальных коэффициентов разложения (2nx + 1/2nx²)^3n равна 64. Определить слагаемое, не содержащее x.

Интересная задачка про бином Ньютона из нашего чата в телеге [ t.me/math_code ]. Прикреплю краткий разбор, ибо вдруг кому-нибудь будет интересно. Что нужно знать для решения таких задач? На мой взгляд пригодится понимание того, что такое многочлены, последовательности ( в частности арифметические и геометрические ), факториалы, число сочетаний из теории вероятностей, а также умение обобщать частные данные в общие формулы. О чем идет речь.. Вы можете сами вывести формулу, если попробуйте сначала посмотреть на (1 + x), затем вычислить разложение (1 + x)² и внимательно на него посмотреть, затем вычислить разложение (1 + x)³ и посмотреть еще внимательнее на коэффициенты, потом 4-ю и 5-ю степени этого же выражения. Чем больше вы выполните рутины, тем лучше вы будете видеть зависимость. Теперь, если вы сравните с коэффициентами C(n, k), которые представляют число сочетаний "из n по k", то вы увидите совпадения с коэффициентами перед k-ми степенями x.

Если вы еще имеете представления о производных, то вы можете попробовать разложить (1 + x)^n в ряд Тейлора, так как формула бинома Ньютона является частным случаем разложения этой функции (1 + x)^n.

Теперь, когда вы убедились в работоспособности формулы, можно попробовать свести наше выражение к теоретическим выкладками и аккуратно посмотреть на коэффициенты, подумать над тем, когда степень при x обнулится. Именно этот момент нужно отловить.

Не бойтесь бесконечных сумм. Да, мы заранее можем не знать какое у нас n (степень). Но для исследования выражений в аналогичных задачах чаще всего необходимо 3-4 первых слагаемых суммы, ну иногда еще плюс последнее слагаемое для того, чтобы удержать в уме граничные условия.

Далее остается только внимательно подставить данные и всё подсчитать.