Сумма углов треугольника равна 180°.
Так нас учили в школе, к этому правилу мы привыкли и готовы повторить его, даже если нас разбудят глубокой ночью. Замечательная теорема! Простая, лаконичная, удобная в использовании при решении задач.
Предлагаю вам, дорогие читатели, немного пофантазировать: давайте представим треугольник (и после посчитаем сумму его углов). Треугольник будет не совсем простой! Сейчас я расскажу вам о его сторонах, а вы постарайтесь по ходу моего рассказа рисовать в голове образ нашей фигуры.
Итак, мысленно возьмите в руки глобус. Хотите немного фактов? Они нам пригодятся! Это данные для нашей задачки.
Проведем пальцем по средней линии: длина экватора равна сорока тысячам километров (40 000; если быть совсем точными, то 40 075, но давайте округлим).
Расстояние от полюса до экватора — десять тысяч километров (10 000).
Всё, теперь можно приступать к самому треугольнику.
Отметим точку Северного полюса как начальную и проведём перпендикулярную линию до экватора. Это первая сторона! Мы проехали 10 000 км. Теперь проедем еще 10 000 км, но уже по экватору (в любую сторону — скажем, в левую). Сейчас у нас есть вторая сторона треугольника, и всё, что нам остаётся — это соединить полученную конечную точку с начальной. Таким образом мы вновь проедем 10 000 км от экватора до Северного полюса. (подумайте, что из этого следует? Вывод можно сделать уже сейчас, но мы пройдём чуть дальше.)
Что в итоге мы получаем?
Первая сторона треугольника — перпендикуляр, проведенный к экватору, следовательно, угол между первой и второй сторонами (Северным полюсом и экватором) 90°.
Теперь нам необходимо найти другие углы. Как это сделать?
Давайте вернёмся немного назад, возможно, во время чтения вы заметили интересное совпадение:
- путь по экватору, 10 000 км, — это четверть всей длины экватора. Мы прошли четверть!
Мысленно разрежем наш глобус вдоль по экватору и представим окружность, разделенную на четыре равные части.
Градусная мера четверти окружности — ровно 90°.
Теперь мы можем продолжить наши выводы.
Согласно имеющимся данным, угол между первой и третьей стороной равен 90°.
А что насчет угла между второй и третьей сторонами?
Третья сторона треугольника — так же перпендикуляр, проведённый от экватора к Северному полюсу, угол между второй и третьей сторонами вновь 90°.
И наш окончательный ответ:
Сумма углов треугольника — 90° * 3 = 270°.
Итак, друзья! Что за зверь у нас получился? И почему?
Если мы захотим нарисовать данный треугольник, то получим примерно следующее:
Результат, не вписывающийся в пределы общеизвестной теоремы, объясняется довольно-таки просто: дело в пространстве.
Наш треугольник представлен в неевклидовом пространстве (на сфере). Для того, чтобы известная теорема выполнялась, необходима евклидова плоскость, в которой бы, в свою очередь, выполнялась аксиома о параллельности. А в сферической геометрии отсутствуют параллельные сферические прямые!
Вот и всё! Теперь вы знаете, что такое сферические треугольники и как они выглядят (и как получаются). Между тем, хотелось бы добавить, что это не единственный вид треугольников, выходящий за пределы теоремы: есть еще и геометрия Лобачевского, и в ней сумма углов треугольника и вовсе всегда меньше 180°. Возможно, я расскажу об этом в следующий раз!
Живите долго и процветайте~