Сложность 1/10
Как бы ни было скучно начинать с азов, делать это необходимо. Не будем терять времени на данном участке, поэтому без лишних прелюдий начнем. Начнем с формулы, которая положила начало изучению гравитации. Конечно же, это Закон всемирного тяготения Ньютона:
Для подробного осмысления этой формулы прибегнем к рисунку.
Действие разворачивается в открытом космосе. У нас имеется массивная планета с массой m2 и небольшой астероид с массой m1 (m2 >> m1) на некотором расстоянии R друг от друга. Расстояние R - это расстояние между центрами этих объектов. Считаем, что изначально наша планета и астероид неподвижны друг относительно друга, то есть астероид не вращается вокруг планеты, как спутник, а просто стоит на месте. В окрестностях этой сцены в относительно огромной области больше ничего нет. Вот и все начальные условия - два каменных шара в абсолютной пустоте. Нажимаем кнопку старт - запускаем ход времени.
Странное свойство нашего мира заключается в том, что эти тела начнут сразу же притягиваться друг к другу сами по себе. Внезапно и без объявления причин. Сила притяжения астероида к планете равна F и она с лёгкостью вычисляется по (1). Планета к спутнику будет притягиваться также с силой F. Из этого следует, что не только астероид падает на планету, но и, наоборот, планета падает на астероид. Разумеется, планета будет падать медленней, т.к. она тяжелее астероида при равной силе притяжения. Мы условились, что m2 >> m1, поэтому движением планеты в сторону астероида пренебрегаем.
Рассмотрим движение астероида в сторону планеты. Для этого избавимся от силы и заменим её на более простое для понимания ускорение.
Итак, ускорение, действующее на наш астероид равно (3). Не обращаем внимания на G - пока это всего лишь постоянный коэффициент, который просто необходим для соблюдения размерности. В будущем, когда мы перейдем к трудам А.Эйнштейна, то исследуем связь G с коэффициентом упругости пространства-времени. Заметим, что ускорение не постоянно, оно увеличивается по мере уменьшения R, это следует из (3), а уменьшение R есть ничто иное, как приближение астероида к планете (рисунок 1). То есть астероид все сильнее и сильнее разгоняется. При этом следует понимать, что это не совсем обычный разгон. Отличительная особенность такого движения заключается в том, что оно не равноускоренное - само ускорение меняется значительно по мере сокращения расстояния, а из этого следует, что динамика движения астероида крайне сильно зависит от расстояния - сократив R в 100 раз, ускорение увеличится в 10 тысяч раз! Итак, наш астероид будет падать в сторону планеты, крайне лениво и неторопливо, но только до тех пор, пока не подлетит на расстояние, сравнимое с размерами самой планеты. Интересно, каково будет ускорение астероида вблизи поверхности Земли? Давайте посчитаем:
Да, мы получили ни что иное, как ускорение свободного падения на поверхности нашей планеты 9,8 м/сс, к которому мы так привыкли. Обратите внимание, что это значение не зависит от массы падающего тела, а только от массы планеты - многие из нас отказывались верить в это в 6 классе. С помощью этой формулы мы можем рассчитать ускорения свободного падения на любых расстояниях и для любых космических тел - очень удобно! Например, ускорение будет равно 1 м/сс на высоте 13773 км над поверхностью Земли, а на расстоянии до Луны, Земля притягивает к себе тела с ускорением всего лишь 0,0027 м/сс. Наглядно увидеть изменение силы притяжения (красный график) в справедливом масштабе можно на этом рисунке.
Наверняка многие из вас думали, что причина невесомости космонавтов на МКС в том, что станция сильно удалена от Земли. На самом деле МКС настолько близко находится к Земле, что ускорение свободного падения равно 8,8 м/сс, что лишь на 10 % меньше, чем на поверхности Земли. Напрашивается вопрос - почему же мы время от времени видим записи легко кувыркающихся в воздухе космонавтов МКС? Дело в том, что Земное притяжение, при движении по орбите, компенсируется действием центробежной силы, действующей на станцию МКС и на все её содержимое в направлении ровно противоположной силе притяжения Земли, а высота орбиты спутника и его скорость выбираются именно таким образом, чтобы центробежная сила и сила гравитации точно уравновешивали друг друга. Значение этой центробежной силы рассчитывается по формуле (4):
Любое движение по непрямым, в том числе и эллиптическим, круговым орбитам порождает действие центробежной силы, которая стремится вытолкнуть объект за пределы орбиты. Это следствие действия 3-го закона Ньютона, и именно поэтому вас прижимает влево, когда автомобиль поворачивает вправо и именно поэтому мы можем покрутить связку ключей на пальце. В случае с планетами и звёздами, действие этой центробежной силы уравновешивается с действием силы гравитации и, стоит отметить, что нам повезло в том, что этот эффект является крайне стабильным, то есть нужно сильно постараться для того, чтобы выбить планету с её орбиты. Возвращаясь к МКС, можно сказать, что космонавты на ее борту постоянно держат руль повернутым влево (или вправо, смотря откуда смотреть), и находятся в постоянном заносе, и их бы прижимало к стенке МКС, как пассажира к двери автомобиля, но благодаря действию силы гравитации, этот эффект сводится на нет. Так что, кажущееся спокойствие на МКС оказывается результатом паритета в непрекращающейся войне двух сил.
Приравняв (1) и (4) мы получим
Соотношение (5) позволяет рассчитывать параметры орбиты. Зная массу планеты m2, мы можем подобрать такие скорость полета V и радиус орбиты R, чтобы тождество стало верным. Когда левая и правая часть уравняются, это будет означать, что сила притяжения и центробежная сила точно уравновесятся и наш спутник не будет ни терять ни набирать высоты, точно также, как это происходит с МКС.
Обратите внимание на схожесть правых частей в (3) и (5)
При работе с (3) мы выяснили, что "а" - характеристическое для планеты число, оно характеризует ускорение свободного падения и можно легко вычислить его значение на поверхности. Глядя на (5), возникает мысль, что "V" - также характеристическое число для планеты, очень уж похожи эти равенства. Что мы найдем, если подставим m2 равной массе Земли и R равной радиусу Земли? Мы найдем ту скорость, с которой должен лететь любой предмет близ поверхности Земли и параллельно ей, чтобы стать спутником Земли, то есть не терять высоты. Давайте посмотрим, какова эта скорость.
Значение, которое мы нашли, называется первой космической скоростью планеты. Оно как раз и определяет ту скорость, с которой должен вращаться объект на минимально возможной высоте (а именно на высоте уровня моря), чтобы перестать падать, а вернее перестать уменьшать радиус своей орбиты сам по-себе, безо всяких двигателей. Конечно же, считается, что атмосферы нет и сопротивления воздуха тоже, ведь данная скорость применяется только для космических расчетов. Опять же заметим, что значение первой космической скорости не зависит от свойств спутника, а лишь от массы планеты и радиуса орбиты, как и в случае с ускорением свободного падения, т.е. является характеристическим значением самой планеты. Для Земли это 7,9 км/с, для Луны 1,7 км/с, а для Солнца 437 км/с. С повышением высоты орбиты необходимая скорость, для удержания спутника на орбите.... падает. Да, падает, так устроен мир, это также видно из (5). Например, геостационарные спутники, летающие на высоте 35000 км, летают со скоростью 3,1 км/с, а Луна, которая находятся в 10 раз дальше, чем геостационарная орбита, летит со скоростью 1 км/с.
Интересно, а с какой скоростью космонавту нужно вращаться вокруг МКС, чтобы стать спутником нашего спутника? Масса МКС 420000 кг и возьмем радиус орбиты равный 50 метрам - это буквально минимальный радиус, на котором можно не зацепить антенны =)
Удивительно, но скорость получилась достаточно ощутимой - это типичная скорость ползущей улитки. Пыль же, скорость частиц которого не превышает данного значения, прямо сейчас вращается вокруг МКС.
Ну вот и все для начала. Все выводы, сделанные сегодня, сделаны благодаря формуле (1). Все остальные, обратите внимание, выведены из неё. Но это ещё не все, что можно из неё выжать - это лишь самое очевидное. Дальше будет сложнее и сложнее, но и интересней. Постараюсь подробно описывать не только физику процессов, но и математические методы. Понять смогут не все, но если кто то сможет - уже хорошо. Приходите на наши лекции =)
