Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1. Неточность математического описания (например, неточность задания начальных данных).
2. Неточность численного метода решения задачи. Данная причина возникает, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т.е. использование приближенного решения.
3. Конечная точность машинной арифметики.
Все погрешности можно разделить на три вида:
1. Неустранимая погрешность.
1.1. Погрешность, обусловленная неточностью задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи.
1.2. Погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели).
2. Погрешность метода.
3. Вычислительная погрешность.
Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей.
Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других более простых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной).
Вычислительная погрешность обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.
Например, пусть, к нас имеется маятник, начинающий движение в момент t=t0. Требуется предсказать угол отклонения φ от вертикали в момент t1.
Дифференциальное уравнение , описывающее это колебание маятника берется в виде:
При таком решении задачи погрешность будет неизменна, потому что трение рассчитывается в реальных условиях и зависит от скорости тела.