Рассмотрим движение тела переменной массы (например, движение ракеты, которое сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).
Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v + dv Изменение импульса системы за время dt будет равно:
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:
Если на систему действуют внешние силы, то
Тогда
где
называют реактивной силой. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.
Это уравнение называется уравнением И.В. Мещерского.
Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:
Применим уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:
где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v = 0 , а стартовая масса ракеты составляет m₀, то
Следовательно,
Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из него следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;
б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света с.
Спасибо за внимание. Ставьте лайки и подписывайтесь :)
