Задание 18 на тему «Элементы математической логики и теория множеств». Оно характеризуется повышенным уровнем сложности. Время выполнения – примерно 5 минут, максимальный балл — 1.
Две трети выпускников проваливают 18 задание.
Давайте разберемся, что надо знать, понимать и уметь для решения этого задания.
Во-первых, нужны знания не только математической логики, но и просто математики. В качестве логической переменной (которая может быть истина или ложна) выступают не просто некоторые переменные, а высказывания. В задании надо определить значения некоторого параметра, зависящего от этих переменных. Например, логической переменной может быть выражение x > 8 или утверждение о том, что x кратен 2.
Если логическое выражение - неравенство, то x > 8 истинно для всех х, которые являются решением данного неравенства, то есть для x от 8 до +∞. И это выражение ложно для всех x, которые можно описать неравенством (x ≤ 8) или x∈(+∞; 8]. Обратите внимание на число 8, когда x = 8, логическая переменная (x > 8) ложна.
Если логическая переменная - некоторое утверждение, то рассмотрим такой пример. Пусть имеем переменную — x делится на 5. Тогда она истинна для всех х, которые кратны 5 (0, 5, 10, 15, …). Обратим внимание на то, что 0 кратен любому числу, а значит кратен 5, то есть тоже даст истинное значение. Получим, что данная логическая переменная ложна при всех х, которые не делятся на 5.
Вроде не очень сложно, скажите вы, но это когда такие переменные рассматриваются отдельно. А в 18 задании имеется целое логическое высказывание, содержащее несколько переменных и параметр, значение которого надо определить.
Как это сделать? Во-первых, упрощаем выражение. Во-вторых, определяем те значения переменной, когда логическое высказывание не будет истинно при любых значениях параметра.
Рассмотрим на примере:
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и y?
Решение.
В этом логическом выражении ничего упрощать не надо. Имеем сложение трех переменных. Проанализируем:
Вторая и третья скобки не зависят от А и обеспечивают истинность всего выражения, независимо от параметра, если x >15 или y > 30. Рассмотрим ситуацию, когда не выполняются ОБА из этих условий, то есть и вторая, и третья скобки одновременно ложны.
Теперь, для того, чтобы все выражение было истинным, необходимо, чтобы первая скобка была истинна:
Свели задание к решению системы простейших неравенств. Теперь определим границы для параметра А. Первое неравенство умножим на 2, затем прибавим полученное неравенство ко второму и сведём это всё к одному двойному неравенству за счёт одинакового выражения y + 2x.
Вернемся к заданию. В нем всегда будет вопрос о чем-то конкретном относительно значений параметра А. В нашем случае надо найти наименьшее целое значение. Мы получили, что A > 60. Значит, наименьшим подходящим целым значением будет 61.
Ответ: 61.
Рассмотрим еще пример:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула
(¬ (x ∈ A) → (x ∈ P)) → ((x ∈ A) → (x ∈ Q))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Решение.
Во-первых, введем обозначения, пусть
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Тогда выражение примет вид:
(¬ A → P) → (A → Q). Симпатично, правда?
Преобразуем данное выражение (заменим импликацию):
(A ∨ ¬ P) → (¬ A ∨ Q)
¬ (A ∨ ¬ P) ∨ (¬ A ∨ Q)
(¬ A ∧ P) ∨ ¬ A ∨ Q
((¬ A ∧ P) ∨ ¬ A) ∨ Q
¬ A ∨ Q
Изобразим на числовой прямой:
Выражение (¬ A ∨ Q) должно быть истинным на всей числовой прямой. Множество Q – это отрезок [32, 47], значит выражение ¬A должно заполнить оставшуюся часть числовой прямой, т.е. быть истинным на этом промежутке. Тогда, выражение A истинно внутри промежутка [32;47]. Тогда максимальная длина отрезка A достигается, когда А совпадает с Q, и равна 15.
Ответ: 15.
На самом деле к каждой задаче в 18 задании надо подходить индивидуально и нет строго намеченной стратегии для решения этого задания. Возможно, из-за этого и справляются с ней всего треть учащихся сдающих экзамен.
Для большинства заданий нужно знать несколько формул математической логики:
Если остались вопросы, пишите в комментариях. Обязательно отвечу. Если нужно разобрать конкретный пример, также - в комментарии.
Читайте также: Задание 1, Задание 2, Задание 3, Задание 4, Задание 5, Задание 6, Задание 7, Задание 8, Задание 9, Задание 10, Задание 11, Задание 12, Задание 13, Задание 14, Задание 15, Задание 22, Задание 16, Задание 17, Задание 19, Задание 20, Задание 21, Задание 23, Задание 24, Задание 25, Задание 26, Задание 27.
Еще больше интересного материала в группе в ВК и на сайте. Кроме этого, можете воспользоваться услугами репетитора.
