Значение каждого из этих 3 понятий в отдельности кажется очевидным, но встретив их вместе в одном предложении, можно обнаружить, что знания значений слов, которыми обозначаются эти понятия, недостаточно для понимания отношений между ними.
Эти понятия широко используются в математике. Чтобы не испытывать неудобств при встрече с ними, в этой статье мы рассмотрим определения этих понятий и выявим чёткие различия между ними.
Верхняя/нижняя граница
Определение:
Элемент c называется верхней границей множества A, если ни один множества A не превосходит c.
И соответственно:
Элемент c называется нижней границей множества A, если любой элемент A больше или равен c.
Здесь всё просто. Например, возьмём множество из 3 чисел: {4, 6, 9}
В данном случае верхней границей можно назвать числа 9, 10, 100, 234,44 - любое число, начиная с 9 будет верхней границей этого множества (например, число 9 - верхняя граница, потому что ни одно из чисел 4, 6 и 9 не превосходит (меньше или равно) числа 9). По той же причине все остальные числа, начиная с 9 (включительно) - верхние границы.
Можно сказать, что множество от 9 включительно до бесконечности - множество верхних границ множества A. Это ключевой момент для понимания - верхняя граница - это не одно число, это целое множество чисел.
По аналогии, все числа от минус бесконечности до 1 включительно - множество нижних границ множества A.
Максимальный/минимальный элемент
Элемент c множества A называется максимальным элементом множества A (обозначается c = max A), если он является верхней границей множества A.
И аналогично
Элемент c множества A называется минимальным элементом множества A (обозначается c = min A), если он является нижней границей множества A.
То есть, чтобы элемент можно было назвать максимальным он должен:
1. Принадлежать множеству A
2. Быть его верхней границей.
В приведённом примере всё понятно - 9 - максимальный элемент множества {4, 6, 9}. Множество его верхних границ бесконечно, но 9 - единственная верхняя граница, которая одновременно является и элементом рассматриваемого множества.
Но зачем такими сложными словами говорить такую простую вещь? И так интуитивно понятно, что максимальный элемент множества {4, 6, 9} - 9.
Рассмотрим другое множество - действительные числа от 0 включительно до 1 исключительно. То есть числа 0.9, 0.99, 0.9999999 и сколько угодно близкие к единице входят в это множество, но сама единица - нет.
Тогда какое число является максимальным элементом такого множества? Такого числа нет. Множество верхних границ - от 1 (включительно) до бесконечности. Но единица не входит в рассматриваемое множество, а значит не удовлетворяет определению максимального элемента. А какое бы близкое к 1 число из рассматриваемого множества мы бы не взяли - всегда найдётся ещё более близкое, поэтому ни 0.9, ни 0.99, ни 0.9999999 и т.д. не будет его верхней границей.
Хорошо, но тогда как можно охарактеризовать 1 относительно этого множества? Мы можем назвать 1 верхней границей, но так можно назвать и все остальные числа, большие 1, но число 1 явно отличается от остальных и должно быть какое-то понятие, выражающее это отличие.
Заметим, что среди множества верхних границ (от 1 (включительно) до бесконечности), 1 - минимальный элемент.
Верхняя/нижняя грань
Верхняя/нижняя грань - минимальный (максимальный) элемент множества верхних (нижних) границ рассматриваемого множества. Обозначается sup A и inf A. sup - от латинского superior (сверху), inf - от inferior (снизу).
Теперь у нас есть ответ на вопрос "что такое 1 по отношению ко множеству от нуля включительно до 1 исключительно?" - 1 - это верхняя грань такого множества.
А является ли 0 его нижней гранью?
Ответить на этот вопрос можно так:
1. По определению, нижняя грань - максимальный элемент множества нижних границ рассматриваемого множества.
2. Множество нижних границ в данном случае - от минус бесконечности до нуля включительно.
3. Является ли 0 максимальным элементом множества из п.2?
3. 1. Элемент c множества A называется максимальным элементом множества A, если он является верхней границей множества A (в данном случае в роли A - множество действительных чисел от минус бесконечности до нуля включительно, в роли c - 0)
3. 2. Очевидно, 0 является элементом множества A и является его верхней границей (так как во множестве от минус бесконечности до нуля нет элементов, превосходящих 0)
Таким образом, да, ноль является нижней гранью.
В заключение сравним рассмотренные понятия по ключевым для понимания характеристикам.
