От кого только не услышишь, что параллельные прямые якобы могут пересекаться в геометрии Лобачевского! Часто этим грешат, например, журналисты. Политики и политологи тоже иногда повторяют эту чушь. К сожалению, бывает, что к ним присоединяются даже учёные (правда, не математики).
Из одной научно-популярной книжки по химии:
А однажды про пересечение параллельных прямых в геометрии Римана я услышал в лекции известного российско-американского учёного астрофизика, что совсем уж не простительно.
К сожалению, и на Яндекс Дзене есть безграмотные статьи, в которых утверждается, что параллельные прямые могут пересекаться в неевклидовой геометрии.
Развеем это заблуждение.
Кто учился в школе, тот изучал евклидову геометрию и хорошо должен знать, что параллельными прямыми называются такие прямые, лежащие в одной плоскости, которые не пересекаются.
Всё. Точка. Параллельные прямые в евклидовой геометрии не могут пересекаться, иначе их нельзя будет назвать параллельными!
Кроме изучаемой в средней школе евклидовой геометрии — геометрии неискривлённого пространства (с нулевой кривизной или «плоского»), есть неевклидовы геометрии — искривлённого пространства: геометрия Лобачевского (геометрия пространства с отрицательной кривизной) и геометрия Римана (геометрия пространства с положительной кривизной).
В этих геометриях параллельные прямые — это те же самые параллельные прямые, что и в геометрии Евклида, то есть не пересекаются по определению. Запомните это раз и навсегда!
Откуда же тогда пошло заблуждение, что в неевклидовых геометриях параллельные прямые пересекаются? Причину можно выразить словами: Слышал звон, да не знаю, где он.
Да. В геометрии Лобачевского и геометрии Римана "не всё в порядке" с параллельностью прямых, но отличие от геометрии Евклида состоит вовсе не в том, что параллельные прямые вдруг сошли с ума и стали пересекаться. Нет! Они как не пересекались, так и не пересекаются.
Дело в другом. Потерпите ещё немного, и я всё расскажу.
В евклидовой геометрии есть аксиома параллельных (5-й постулат Евклида): Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
В геометрии Лобачевского (её ещё называют гиперболической) вместо этого постулата другой: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две прямые, параллельные данной.
Но и тут параллельные прямые как не пересекались, так и не пересекаются.
В евклидовой геометрии, если две прямые параллельны третьей, то между собой они тоже параллельны. В геометрии Лобачевского это свойство не выполняется. На рисунке две прямые пересекаются в точке М, но они и не называются поэтому параллельными друг другу.
В геометрии Римана (её ещё называют сферической) вообще все прямые пересекаются, там нет параллельных прямых.
Например, в евклидовой геометрии два перпендикуляра к одной прямой между собой параллельны, а в римановой они обязательно пересекутся. Так, два меридиана на глобусе перпендикулярны экватору, но пересекаются на полюсах. Но это означает, повторяю, что в римановой геометрии просто нет параллельных прямых (а раз их нет, то и пересекаться они не могут :)).
Существует ещё один раздел геометрии, называемый проективной геометрией. В основу её положен метод центральной проекции.
ABCD — фигура («оригинал»), S- центр проекции, ω'- плоскость проекции, A'B'C'D' — центральная проекция («изображение»).
Похоже на то, как на холсте рисуется картина.
В евклидовом пространстве центральное проектирование имеет трудность, заключающуюся в том, что бывают случаи, когда не каждой точке «оригинала» соответствует точка «изображения» и, обратно, не каждой точке изображения соответствует точка оригинала. Центр проекции S выбирается произвольно, и возможна, например, ситуация, когда луч проекции идёт параллельно плоскости проекции, поэтому не пересекает её и не создаёт соответствующее «изображение» точки.
Чтобы восстановить взаимно однозначное соответствие точек оригинала и образа, полагают, что у каждой прямой, кроме «собственных» или «обыкновенных» её точек (точек, из которых она состоит, и между которыми, как бы далеко друг от друга они ни отстояли, всегда конечное расстояние) есть одна несобственная точка — бесконечно удалённая. У всех параллельных прямых одна на всех общая несобственная точка, то есть можно сказать, что они как бы "пересекаются" в несобственной, бесконечно удалённой точке.
Тем не менее это схождение прямых совсем не похоже на обычное пересечение прямых, потому что ни в одной собственной точке параллельные прямые не пересекаются никогда. Их общая точка расположена в бесконечности и она несобственная. Если до обыкновенной точки пересечения не параллельных прямых можно дойти, двигаясь по одной их этих прямых и пойти дальше (для обычного пересечения прямых расстояние от любой точки прямой до точки пересечения конечно), то до несобственной точки пересечения параллельных прямых дойти нельзя даже двигаясь со скоростью света миллиард миллиардов лет, потому что расстояние до неё от любой точки прямой равно бесконечности. Эта точка, если так можно сказать, выдумана — ради формального удобства, придания определённой симметрии, законченности и красоты теории проективных преобразований.
Понятно, что не математику трудно представить несобственные точки (а также несобственную прямую, расширенную плоскость, несобственную прямую и расширенное (проективное) пространство). Главное, что теперь, если в разговоре с вами кто-то скажет, что параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского, вы можете с видом знатока его поправить, сказав, что параллельные прямые не могут пересекаться ни в одной геометрии ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ параллельных прямых (можно задать собеседнику вопрос: а какие прямые называются параллельными?), параллельные прямые могут СХОДИТЬСЯ в несобственной точке в проективной геометрии.
