В обычной жизни бесконечность предстаёт как нечто неизвестное, таинственное, недоступное для понимания. В математике же бесконечность - это давно и тщательно исследованное понятие. В этом нет ничего удивительного, ведь большинство математических объектов - натуральны ряд, числовая прямая и другие - так или иначе связаны с бесконечностью. Как ни странно, существует вопрос, касающийся бесконечности, на который математики всё же не могут дать ответ. Более того, они знают, что не смогут ответить на него никогда.
Что же это за вопрос и какую роль он играет в науке? Действительно ли он связан с бесконечностью, которая приходит всем в голову при упоминании этого термина? На самом деле, то, что обозначается всем известной перевёрнутой восьмёркой
не имеет к этому никакого отношения. Дело в том, что в математике существует несколько объектов, которые можно назвать "бесконечность". При этом они мало связаны друг с другом.
Первый из них как раз и обозначается перевёрнутой восьмёркой. Этот объект, когда записывается с определённым знаком - плюс или минус - представляет собой бесконечно удалённую точку на числовой прямой, соответственно в положительном или отрицательном направлении. Такая бесконечность используется в математическом анализе и является пределом бесконечно больших последовательностей или функций. Другими словами, когда какая-то последовательность способна достигнуть сколь угодно большого по абсолютной величине значения, говорят, что её пределом является бесконечность (со знаком "плюс", "минус" или без знака).
Но существует в математике и совсем другая категория бесконечности, "притаившаяся" в теории множеств. В данном случае она напрямую связана с понятием КОЛИЧЕСТВА, и тут уже гораздо больше нюансов и настоящих тайн. Каким-то одним значком бесконечности в виде перевёрнутой восьмёрки тут не обойдёшься, ведь значок один... а бесконечности-то разные!
Когда математики говорят о сравнении количеств, то это означает ни что иное, как сравнение множеств. Множество - это некий набор элементов. В качестве элементов может служить что угодно - числа, точки, буквы, любые реальные объекты. Множества можно сравнивать: если элементы одного из них можно взаимно однозначно (каким угодно способом) сопоставить элементам другого, то это и означает, что размеры множеств (количество элементов в них) равны. Кстати говоря, здесь и кроется единственное определение понятия "КОЛИЧЕСТВО" в математике. Количества элементов в любых множествах (и конечных, и бесконечных) являются числами, имеющими специальное название - кардинальные числа.
У конечных множеств - кардинальные числа которых равны натуральным числам - есть одно свойство: часть множества по размеру всегда меньше целого. Этим они и отличаются от бесконечных, ведь для последних такое правило не работает.
Да, часть бесконечного множества может быть равна по размеру целому! Это и есть определение понятия "БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО". В качестве примера, который чаще всего иллюстрирует данное явление - равенство мощностей множеств НАТУРАЛЬНЫХ и ЦЕЛЫХ чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
Легко видеть, что каждому натуральному числу можно по определённому правилу поставить в соответствие конкретное целое число, и наоборот. Множества, которые по размеру равны множеству натуральных чисел, называются СЧЁТНЫМИ. Название связано с тем, что элементы таких множеств можно пронумеровать: присвоить каждому из них номер.
Количество элементов в любом счётном множестве - это одно и то же кардинальное число, называемое алеф 0. Оно является самым маленьким среди бесконечных кардинальных чисел. Это значит, что множество натуральных чисел - самое маленькое среди бесконечных. Вы правильно поняли: существуют бОльшие бесконечности!
Представьте себе непрерывную прямую линию. Даже не так: представьте себе просто прямой отрезок - и начните отмечать на нём отдельные точки, присваивая им номера. Сколько всего точек получится отметить, если продолжать этот процесс бесконечно? Правильно, столько же, сколько и натуральных чисел - алеф 0. Получится ли отметить все точки отрезка, даже продолжая процесс бесконечно? НЕТ, НЕ ПОЛУЧИТСЯ, КАКИМ БЫ ВЫ СПОСОБОМ ЭТО НЕ ДЕЛАЛИ.
Дело в том, что бесконечное количество ВСЕХ точек отрезка БОЛЬШЕ, чем количество натуральных чисел. Количество точек на отрезке называется континуум, и, кстати говоря, оно равно количеству всех точек прямой, и всех точек плоскости, и даже всех точек нашего трёхмерного пространства. Даже если представить, что наше пространство 53524-мерно, в нём всё равно будет столько же точек, сколько на одном маленьком отрезке - континуум. И это больше, чем количество натуральных чисел. Странно? Да. Но это так, и у этого есть замечательное эстетичное доказательство, которое приведём в каком-нибудь из следующих постов.
Математики как-то задали вопрос: существуют ли (даже теоретически) множества, которые по размеру строго больше натурального ряда, но при этом строго меньше континуума? Гипотеза о том, что такого множества не существует, носит название континуум-гипотезы. И доказать её нельзя. Более того, математики ДОКАЗАЛИ, что её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Это значит, что не получится найти такое множество, о котором написано выше, но при этом никогда не получится доказать, что таких множеств не существует.
Означает ли это, что наша математика несовершенна? К счастью, совершенно точно - НЕТ, НЕ ОЗНАЧАЕТ. Австрийский математик Курт Гёдель, изучая формальные системы, показал, что в каждой из них возникают вопросы, на которые невозможно дать ни положительного, ни отрицательного ответа. Это одно из базовых свойств логики нашего мира, поэтому, какую бы "НОВУЮ ИДЕАЛЬНУЮ СОВЕРШЕННУЮ МАТЕМАТИКУ" ни создали через 200-300 лет, в ней всегда будут оставаться нерешённые вопросы.
