Все грамотные люди знают, что число Пи есть отношение длины окружности к её диаметру, то есть число Пи показывает, сколько раз диаметр укладывается на окружности (или, другими словами, во сколько раз длина окружности больше её диаметра). Потому и формула длины окружности имеет вид: C=πD, где C — длина окружности, D — её диаметр. Если π раз взять D, то получим длину окружности (диаметр помещается на окружности чуть более трёх раз: 3,14159265358979...).
Но обычно формулу длины окружности записывают в другом виде — через радиус окружности: C=2πR. Здесь просто заменили D на 2R (диаметр в два раза больше радиуса) и переставили двоечку вперёд, перед константой π, как и положено для канонической записи формул, когда постоянные множители пишут перед переменной, причём числа перед буквами. Согласитесь, что в таком виде её геометрический смысл менее понятен, и поэтому учащиеся школ плохо её запоминают и хорошо забывают (если учитель не вобьёт в их головы, что «радиус укладывается на окружности 2π раз, 2R — это диаметр, а π — отношение длины окружности к её диаметру»).
Все чуть более грамотные люди, знающие математику и физику не формально, видят всю неестественность, неинтуитивность и методологическую неправильность таким образом определяемого числа Пи. А преподаватели математики — методическую неправильность (сложное объяснение, когда можно объяснить просто, с опорой на естественность, очевидность, чувства учеников).
Дело в том, что диаметр окружности математиков мало интересует, а интересует радиус (диаметр всегда можно получить, удвоив радиус).
Радиус определяет окружность, а вовсе не диаметр, который является производным понятием от радиуса: Окружность — геометрическое место точек плоскости, удалённых от некоторой точки — центра окружности — на заданное расстояние, называемое радиусом окружности, R.
Вспомните, как в школе чертили циркулем окружность: расстояние от кончика иглы до кончика карандаша есть радиус вычерчиваемой циркулем окружности.
Именно радиус входит в формулы окружности:
Основная единица измерения плоских углов в математике и физике – радиан – определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу (а не диаметру).
Видим методологическое (и дидактическое — в обучении математике) противоречие: число Пи определяется количеством диаметров, помещающихся на окружности, а на практике важно знать количество радиусов (в два раза большее). Из-за этого во всех формулах физики, где есть число Пи (начиная с периода колебаний математического маятника), перед ним приходится писать множитель два, да и в математических формулах с числом Пи появляются лишние двойки (в той же формуле длины окружности С=2πR).
Логично и методологически верно искать отношение длины окружности к её радиусу (а не к диаметру) и именно это отношение назвать числом Пи, которое оказалось бы в два раза больше сегодня принятого: 6,283185…
Сразу исчезнут захламляющие формулы двойки перед π. Это и выглядеть будет красивее и точнее передавать смыслы (C=πR). И запоминать формулы, что немаловажно, станет легче.
На единичном круге полный оборот на 360 градусов будет в радианах обозначаться одним π, пол-оборота (полкруга) – π/2, четверть – π/4, а не как сейчас: полный оборот — 2π радиан, пол-оборота — π, четверть оборота — π/2, восьмая часть оборота — π/4...
Не существует рациональных доводов против исправления методологической ошибки древних (число Пи как отношение длины окружности к диаметру было известно ещё до нашей эры), кроме трудностей разрушения традиций и возможной путаницы от называния разных вещей одной буквой. Пора уже слезть с мёртвой лошади! В крайнем случае, можно для обозначения отношения длины окружности к её радиусу взять другую букву, например, тау — τ, и все формулы переписать, заменив 2π на τ. Хотя я лично за переопределение числа Пи.
В математическом обществе есть призывы (начиная с Роберта Палэйа в 2001 году, Robert Palais) к использованию числа тау, но они к сожалению, пока остаются лишь призывами. Есть даже международный день числа Тау - 28 июня.